КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Лекция № 3 Тема: ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ План лекции 1.6 Дифференциальное уравнение теплопроводности 1.7 Условия однозначности для процессов теплопроводности
Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами очень трудно. В этих случаях на помощь приходит метод математической физики, который исходит из того, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет в пределах элементарного объема и выбранного малого отрезка времени пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс, и существенно упростить зависимость. Выбранные таким образом элементарный объем d и элементарный промежуток времени d , в пределах которых рассматривается изучаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения — величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение среды и рассматривать ее как континуум (сплошную). Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. Интегрируя дифференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматриваемого промежутка времени. При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.
Для облегчения вывода этого дифференциального уравнения сделаем следующие допущения: тело однородно и изотропно; физические параметры постоянны; деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае могут быть заданы как qv=f(x, у, z, ), распределены равномерно. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время d вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорического или изобарического процесса), содержащегося в элементарном объеме; dQ1 + dQ2 =dQ, (1.22) где dQ1 — количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время d ; dQ2— количество теплоты, которое за время d выделилось в элементарном объеме d v за счет внутренних источников; dQ — изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме d v, за время d . Для нахождения составляющих уравнения (1.22) выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рисунок 1.3). Параллелепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям. Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dx в направлении осей Ox, Оу, Oz, обозначим соответственно dQx, dQv, dQz.
Рисунок 1.3- К выводу дифференциального уравнения теплопроводности.
Количество теплоты, которое будет отводиться через противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQх+dх, dQy+dy, dQz+dz. Количество теплоты, подведенное к грани dy dz в направлении оси Ох за время d , составляет dOx = qxdy dz d , где qx — проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох, запишется как
dQх+dх = qx+dxdy dz d .
Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и отведенного от него за время d в направлении оси Ох, представляет собой количество теплоты
dQх1=dQx-dQx+dx или
dQx1 = qxdy dz d —qx+dxdy dz d (a)
Функция qx+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора: qx+dx=qx+ … Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (а) запишется в виде
dQx1= - (б)
Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему и в направлениях двух других координатных осей Оу и Oz. Количество теплоты dQ, подведенное теплопроводностью к рассматриваемому объему, будет равно:
dQ1= - (в)
Определим вторую составляющую уравнения (1.22). Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени и называемое мощностью внутренних источников теплоты, через qv, Вт/м3. Тогда
dQ2 =qvd v d (г)
Третья составляющая в уравнении (1.22) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы. В случае рассмотрения изохорического процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т. е. dQ = dU. Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема u = u(t, v), тогда dU найдется как
dU = C v d d v = c v d d v (д)
где Cv — изохорная теплоемкость единицы объема, Дж/(м3-К); cv — изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг-К); — плотность вещества, кг/м3. Подставляя полученные выражения (в), (г) и (д) в уравнение (1.22), получим: с v = - +q v (1.23) или
с v = - div q + q v (1.23 /)
Выражение (1.23) является дифференциальным уравнением энергии для изохорического процесса переноса теплоты. При рассмотрении изобарического процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменения энтальпии вещества, заключенного в этом объеме, и уравнение (1.22) запишется следующим образом:
dQ1 + dQ2=dI. (1.24)
Если рассматривать энтальпию единицы объема, как i=i(t, p), то можно показать, что
dI=Cp d d v = с p d d v= d d v (e)
где Ср — изобарная теплоемкость единицы объема, Дж/(м3-К); ср — изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг-К). Если полученные выражения (в), (г) и (е) подставить в уравнение (1.24), получим: = - +q v (1.25) или = - div q + q v (1.25')
Соотношение (1.25) является дифференциальным уравнением энергии в самом общем виде для изобарического процесса переноса теплоты. Уравнение (1.25) будет широко использоваться и в других разделах курса при рассмотрении конкретных видов переноса теплоты. С учетом сказанного в общем виде уравнение запишется следующим образом:
(1.26)
Коэффициент пропорциональности а, м2/с, в уравнении (1.26) называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества. Он существен для нестационарных тепловых процессов и характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (1.26) следует, что изменение температуры во времени dt/d для любой точки пространства пропорционально величине а. Иначе говоря, скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности а. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости >и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности. Далее, если система тел не содержит внутренних источников тепла (q = 0), тогда выражение (1.26) принимает форму уравнения Фурье:
(1.27)
Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т. е. t = t(x, у, z), то дифференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение Пуассона:
(1.28)
Наконец, для стационарной теплопроводности и отсутствия внутренних источников теплоты выражение принимает вид уравнения Лапласа:
(1.29)
Нахождение частных решений этих уравнений в частных производных и некоторых других является основным содержанием теории теплопроводности.
Дата добавления: 2014-11-08; Просмотров: 1347; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |