Различные виды уравнений прямой в пространстве

1. Общее уравнение прямой

(1.3.5)

Прямая задана пересечением двух плоскостей с нормалями и .

2. Канонические (стандартные) уравнения прямой, проходящей через точку М₀(х₀, у₀,, z₀), И имеющей направляющий вектор ,

. (1.3.6)

Пример 1.3.4. Перейти от общих уравнений прямой

к каноническим уравнениям.

Решение. Прежде всего выберем какую–нибудь точку М₀, например М₀(0,0,2), удовлетворяющую общим уравнениям прямой. Если сразу не удается подобрать координаты точки М₀, то ее можно найти из решения системы линейных уравнений (см. пример 1.1.11), которой задаются общие уравнения прямой.

Направляющий вектор прямой а может быть выбран в виде (см. формулу 1.3.5), где и - нормальные векторы к плоскостям, пересечением которых и задается прямая

.

Канонические уравнения прямой имеют вид , или .

3. Параметрические уравнения прямой:

х = х₀ + mt, у = у₀ + pt, z = z₀ + ut, . (1.3.7)

Пример 1.3.5. В примере 1.3.4 от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим уравнениям.

Решение. Ряд равных отношений в канонических уравнениях прямой примера 1.3.4 приравняем к t: . Откуда получим параметрические уравнения: , , , .

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид

. (1.3.8)

Замечание. В уравнениях прямой (1.3.6) и (1.3.8) допускается равенство нулю одной или двух координат вектора . В этом случае нуль в знаменателе воспринимается только лишь как информация о координатах вектора .

Дата добавления: 2014-11-20