Площадь поверхности вращения

Решение.

Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением у = f(x), то длина ее дуги, для которой хє[a,b], равна

.

Пример 4.2.7. Вычислить длину дуги кривой .

Если кривая задана параметрически y = y(t), x = x(t), tє[α,β], то ее длина вычисляется по формуле

.

Пример 4.2.8. Вычислить длину астроиды у = sin³t, х = cos³t.

Решение. Астроида - замкнутая линия, при обходе которой параметр t меняется от 0 до 2π. Так как кривая симметрична относительно осей координат, достаточно вычислить длину ее дуги, лежащей в первом квадранте. Поэтому

Если кривая задана в полярной системе координат уравнением ρ = ρ(φ), φє[α,β], тогда

.

Пример 4.2.9. Вычислить длину дуги кардиоиды ρ = 1 + cosφ.

В силу симметрии кардиоиды относительно оси ОХ достаточно вы­числить длину дуги ее верхней половины, для которой φє[0,π]. Тогда

Площадь поверхности, образованной вращением кривой у = f(х), хє[a,b] вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле

.

Пример 4.2.10. Вычислить площадь поверхности, образованной вра­щением первой арки синусоиды у = sin х, хє[0,π] вокруг оси ОХ.

Решение. Согласно приведенной выше формуле

В результате интегрирования по частям получено уравнение относительно интеграла

откуда . Тогда .

Дата добавления: 2014-11-20