Двойного интеграла

Вычисление площадей поверхностей с помощью

Литература: [3, №№ 3597 - 3608, 3626 - 3642; 5, гл. 2, § 2.11; 6, гл. 1, §1].

Пусть необходимо вычислить часть площади поверхности S, заданной уравнением z =f(х,у)єC'(D) и ограниченной линией Г (рис. 6.2.9), где D -область на координатной плоскости, например 0XY, на которую однозначно проектируется данный участок поверхности.

Разобьем поверхность сетью линий на п малых элементов площади Δσ_i, имеющих проекции ΔS_i на плоскость 0XY. Составим интегральную сумму Δσ_i и перейдём к пределу

.

Из рис. 6.2.9 видно, что при малых величинах Δσ_i участки поверхности близки к плоским. Поэтому ΔS_i = Δσ_icosγ_i, где γ_i - угол между нормалью n_i, к элементу поверхности Δσ_i и осью 0z.

Единичную нормаль к поверхности, а значит, и направляющий косинус cosγ_i найдём с помощью градиента функции, описывающей поверхность S,

.

Откуда

Тогда

(6.2.25)

Если поверхность S однозначно проектируется на плоскость 0XZ (или 0YZ) и уравнения поверхностей заданы в явном виде x = φ(y,z) (или y = ψ(x,z)), то для площади поверхности в этих случаях имеем:

(6.2.26)

Если поверхность неоднозначно проектируется на какую - либо коор­динатную плоскость, то разбиваем ее на однозначно проектирующиеся уча­стки.

Пример 6.2.5. Найти площадь поверхности конуса х² + у² - z² =0, за-ключенной внутри цилиндра х² + у² - 2ах = 0, (z ≥ 0).

Решение. Площадь этой части поверхности проектируется однозначно на координатную плоскость 0XY в круг х² + у² ≤ 2ах. Для рассматриваемой части поверхности конуса

.

Тогда, с учетом площади круга радиуса а, найдём

Дата добавления: 2014-11-20