КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные операции над векторными полями
Скалярные и векторные поля Тема 6.5. Элементы векторного анализа
Литература: [3, №№4401 – 4404; 6, гл. 6, §§ 1 – 2; 20, гл.2, §§ 1 - 6]. Пусть Ω - область в трехмерном пространстве. Скалярным полем на Ω называют числовую функцию u(M), заданную на точках MєΩ. Векторным полем на Ω называют векторную функцию а(М), заданную на точках MєΩ. Если в пространстве введена декартова система координат, то скалярное поле или векторное поле а(М) на Ω становится функциями координат точек: u(x;y;z), a(x;y;z) = (ax(x;y;z); ay(x;y;z); az(x;y;z)). При выборе другой декартовой системы координат меняются координаты точек М(x;y;z) на М(x;y;z). Множество точек поля М, заданное уравнением u(x;y;z)=const, называется поверхностью уровня скалярного поля u. Векторной, или силовой линией векторного поля а называют гладкую кривую, которая в каждой своей точке М касается вектора поля а(М). Если r=(x;y;z) - радиус-вектор переменной векторной линии поля a=(ax;ay;az), то (6.5.1) - дифференциальное уравнение силовых (векторных) линий. Пусть γ – плоская кусочно-глакая простая замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля а. Поверхность, образованную векторными линиями, пересекающими γ, называют векторной трубкой поля а.
Оператор
Литература: [3, №№3439 – 3448, 4405-4429; 5, §3.4; 6, гл.6, §§ 5 – 6; 20, гл.2, §§ 12, 13]. Векторный дифференциальный символ называют «набла» по обозначающей его букве, а также оператором Гамильтона. В декартовой системе координат (6.5.2) Градиентом дифференцируемого на Ω скалярного поля u в точке MєΩ называют вектор, обозначаемый grad u или u и задаваемый в декартовой системе координат формулой (6.5.3) где производные поля вычислены в точке М(x;y;z). Для производной поля и в точке М(х; у; z) по направлению произвольного единичного вектора l существует формула
(6.5.4) Градиент поля в точке М направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через М, в сторону возрастания поля, и его модуль |gradu| ≡ | u| равен наибольшей производной по направлению в этой точке. Дивергенцией, или расходимостью дифференцируемого на Ω поля а в точке MєΩ называют число, обозначаемое div а или (,a) и задаваемое в декартовой системе координат формулой (6.5.3) где а = (ах; ау; az) и производные вычислены в точке М(х; у; z). Значение числовой функции div а в точках Ω не зависит от выбора декартовой системы координат, то есть div a - скалярное поле на Ω. Ротором (вихрем, или ротацией) дифференцируемого на Ω. векторного поля а в точке MєΩ называют вектор, обозначаемый rot а, или [ ,a] (иногда х а) и задаваемый формулой (6.5.6)
где а = (ах; ау; az) и производные вычисляются в точке М(х; у; z). Значение векторной числовой функции rot а в точках Ω не зависит от выбора декартовой системы координат одинаковой ориентации, но rot а меняет знак при смене ориентации системы координат. Для записи rot а в декартовой системе координат используют такой же символический определитель, как и для векторного произведения векторов: (6.5.7) Формулы (6.5.3), (6.5.5) и (6.5.6) определяют над скалярными и векторными полями три основные дифференциальные операции первого порядка - действие на скаляр и вектор. Для этих операций используются такие же обозначения, как и для произведения вектора на скаляр или вектор, и обладают эти операции такими же свойствами, как и эти произведения. Но последнее - с учетом, во-первых, невозможности перестановки символа с этим скаляром или вектором, на который он действует, и, во-вторых, дифференциального характера символа . Операции (6.5.3), (6.5.5) и (6.5.6) - линейны. Пусть скалярное поле и, а также векторные поля а и b дифференцируемы на Ω, с - постоянный вектор, тогда:
1. div(ua) = (gradu,a) + udiva. (6.5.8) 2. div[a, b] = (b, rota) - (a, rotb). (6.5.9) 3. rot[c,a] = с diva - (c, grad)a. (6.5.10) Символ может встречаться в выражениях не раз, создавая дифференциальные символы второго и более высоких порядков: 4. (6.5.11) - оператор Лапласа. Символ [ , ], как нетрудно проверить, нулевой, что естественно с точки зрения векторной алгебры. Поэтому: 5. rot gradu = [ , Vu] = [ , ]u = 0. (6.5.12) 6. div rota = (,[ ,a]) = ([ , ]a) = 0. (6.5.13)
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 1981; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |