Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Интегрирование по частям. Метод замены переменного




Метод замены переменного

 

Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции

Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производную и обратную функцию . (Например: монотонна). Тогда справедлива формула:

. (3.1.1)

В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (3.1.1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:

. (3.1.2)

Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (3.1.2), то с помощью подстановки получаем более простой интеграл (3.1.1).

 

Пример 8 .

Решение.

.

Пример 9 .

На практике часто используется следующая простая формула:

,

где - первообразная функции .

Пример 10. .

Пример 11. .

Пример 12. .

 

Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения.

.

Смысл формулы заключается в том, что производная перебрасывается с одного множителя не другой и интеграл при этом может оказаться проще, чем исходный.

Можно выделить по крайней мере два класса интегралов, для которых применима формула интегрирования по частям.

I.

где - многочлен степени . В качестве нужно взять , а = - другой сомножитель.

При этом формулу приходится применить столько раз, какова степень многочлена.

 

II. .

В этом случае, наоборот, следует положить = .

Рассмотрим применение указанной схемы.

Пример 13.

.

Это интеграл первого типа, поэтому:

= =

= =

Пример 14. .

Решение.

Это интеграл второго типа, поэтому имеем:

.

Заметим, что при использовании формулы интегрирования по частям приходится восстанавливать функцию по ее дифференциалу . Поэтому в качестве этого сомножителя нужно брать легко интегрируемую функцию.

Формула интегрирования по частям может хорошо сработать и в других случаях.

Пример 15 .

.

Получили уравнение относительного исходного интеграла I. Вынося I за скобку, получим

,

откуда

.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 356; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.