Главные направления, главные диаметры

О п р е д е л е н и е. Направление называется главным направлением относительно линии второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным ему направлением.

Т е о р е м а. Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существуют два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление является главным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Записав условие сопряженности для ортогональных направлений и , получим условие

, ()

которое позволяет найти главные направления и определить их число.

I. Пусть в () . Тогда (в противном случае получим ). Из () получаем квадратное уравнение с неизвестным . Это уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант больше нуля. Следовательно, в этом случае относительно линии второго порядка существуют ровно два главных направления.

II. Если в () , то получаем . Имеем два главных направления и – направления координатных осей.

III. Если в () , то есть () является тождеством, то любое направление является главным относительно линии второго порядка. В этом случае уравнение линии приводится к каноническому уравнению . То есть линия является окружностью (вещественного, нулевого или мнимого радиуса).

О п р е д е л е н и е. Диаметр линии второго порядка называется главным диаметром, если он перпендикулярен сопряженным хордам.

Таким образом, главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка.

Из следствия о диаметрах нецентральной линии следует, что нецентральная линия имеет только один главный диаметр – ось симметрии асимптотического направления.

Литература

1. Атанасян, Л.С. Геометрия, Ч. 2 [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. − М.: Просвещение, 1987. – 351 с.

2. Базылев, В.Т. Геометрия, Ч. 2 [Текст] / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев. – М.: Просвещение, 1975. − 367 с.

3. Горшкова, Л.С. Проективная геометрия [Текст] / Л.С. Горшкова, В.И. Паньженский, Е.В. Марина. – М.: Изд. ЛКИ, 2007. – 168 с.

4. Гуревич, Г.Б. Проективная геометрия [Текст] / Г.Б. Гуревич. − М., 1960. – 317 с.

5. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст] / Н.В. Ефимов. – М.: Наука, 1978. – 280 с.

6. Каюмов, О.Р. Проективные свойства фигур: Учебное пособие [Текст] / О.Р. Каюмов. – Омск:Изд-во ОмГПУ, 2003.

7. Комиссарук, А.М. Проективная геометрия в задачах [Текст] / А.М. Комиссарук. – Минск, 1971. – 319 с.

8. Матвиевская, Г.П. Альбрехт Дюрер – ученый [Текст] / Г.П. Матвиевская. – М.: Наука, 1987. – 240 с.

9. Певзнер, С.Л. Проективная геометрия [Текст] / С.Л. Певзнер. − М.: Просвещение, 1980. – 216 с.

10. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии, Ч. 2 [Текст] / В.В. Прасолов. – М., 1991. – 239 с.

11. Проективные факты в решении элементарно-геометрических задач. Методическая разработка [Текст] / Сост. В.П. Толстопятов. – Екатеринбург:УрГПУ, 2000. – 42 с.

12. Раушенбах, Б.В. Системы перспективы в изобразительном искусстве [Текст] / Б.В. Раушенбах. – М.: Наука, 1986. – 255 с.

13. Четверухин, Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. – М.: Просвещение, 1953. − 367 с.

14. Щербаков, Р.Н. От проективной геометрии к неевклидовой [Текст] / Р.Н. Щербаков, Л.Ф. Пичурин. – М., 1979. – 158 с.

Толстопятов Владимир Павлович

Геометрия

Курс лекций, 1 семестр

Учебное пособие

Подписано в печать Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов

Усл. печ. л. 6 Тираж 150 экз. Заказ

Уральский государственный педагогический университет

Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

Дата добавления: 2014-11-20