Доведення. Довести методом математичної індукції наступну рівність:

Приклад.

Довести методом математичної індукції наступну рівність:

.

Перевіримо, що ця рівність правильна при .

.

Припустимо, що рівність правильна при , тобто

.

Доведемо, виходячи з цього, що рівність правильна при , тобто

.

.

Значить, твердження має місце при будь-якому натуральному .

1.6. Біноміальні коефіцієнти. Біном Ньютона

Розглянемо два натуральних числа і . Біноміальні коефіцієнти визначаються рівністю:

.

Мають місце наступні рівності:

1.

2.

3.

4. ;

5. ;

6. .

Формула бінома Ньютона

.

2. АКСІОМАТИКА ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

Множина називається множиною дійсних чисел, а її елементи – дійсними числами, якщо вона задовольняє комплексу умов (аксіом) 1-5:

1. Операція додавання.

Для будь-якої упорядкованої пари визначено, причому єдиним чином, елемент , який називається їхньою сумою так, що при цьому мають місце наступні властивості:

1.1. (комутативність).

1.2. (асоціативність).

1.3. В існує елемент, що позначається і називається нулем такий, що .

1.4. Для існує елемент з , що називається протилежним до і позначається , такий що .

2. Операція множення.

Для будь-якої упорядкованої пари елементів визначено, причому єдиним чином, елемент , що називається їхнім добутком так, що при цьому мають місце наступні властивості:

2.1. (комутативність).

2.2. (асоціативність).

2.3. В існує елемент, що позначається і називається одиницею, такий, що .

2.4. , існує елемент з , що називається оберненим до і позначається або , такий, що .

3. Зв’язок операцій додавання і множення.

3.1. (дистрибутивність множення відносно додавання).

Зауваження. В алгебрі множину, яка задовольняє аксіоми 1-3 називають полем.

4. Аксіома упорядкованості.

Для кожного визначено одне з трьох співвідношень:

, , ,

причому умови і – еквівалентні, а також, якщо і , то і .

Аксіома 4 дає можливість порівнювати два елемента із за величиною.

Елемент називається більшим за елемент, і пишуть , або, що є те ж саме, елемент називається меншим за елемент , і пишуть , якщо .

Для будь-якої упорядкованої пари сума називається різницею і і позначається через , тобто

.

Для будь-якої упорядкованої пари добуток називається часткою від ділення на і позначається через , або , або , тобто

.

5. Аксіома неперервності.

Якими б не були непорожні множини і , у яких і виконується нерівність , існує такий елемент , що для будь-яких і виконуються нерівністі .

Теорема. Множина , що задовольняє аксіомам 1-5, існує і єдина з точністю до ізоморфізму, що зберігає порядок. Тобто, якщо і – дві множини, які задовольняють аксіомам 1-5, то знайдеться бієкція , яка задовольняє умовам:

2.1. Наслідки із аксіом

2.1.1. Властивості операцій додавання і множення

1⁰. Є диність нуля (тільки одне число з має властивість нуля).

2⁰. Єдиність одиниці.

3⁰. Єдиність протилежного елемента.

4⁰. Єдиність оберненого елемента.

5⁰. .

Дата добавления: 2014-11-20