Теорема. Будь-яка площина у тривимірному просторі визначається лінійним рівнянням (3). Кожному лінійному рівнянню при відповідає в цьому просторі деяка площина

Дістали рівняння площини, що проходить через задану точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно до заданого вектора.

Якщо позначимо сталу величину

, (2)

то рівняння (1) набере вигляду

(3)

Рівняння (3) є лінійним відносно координат х, у, z.

Справджується така теорема.

Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше. Доведемо, що будь-якому лінійному рівнянню виду (3) відповідає деяка площина. Візьмемо вектор і знайдемо числа х ₀, у ₀, z ₀, які задовольняють рівняння

(4)

Розглянемо тепер дві точки М₀(х₀, у₀, z₀), М(х, у, z). Згідно з (3) та (4) рівняння (1) можна записати у векторному вигляді:

.

Отже, вектор перпендикулярний до вектора n. Це означає, що точка М (х, у, z) належить площині, яка проходить через точку М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) і перпендикулярна до вектора n. Теорему доведено. ¨

З доведення випливає, що в загальному рівнянні площини коефіцієнти А, В, С при х, у, z є проекціями вектора, перпендикулярного до площини цієї площини.

Дата добавления: 2014-11-20