КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 2.Проверка гипотез о равенстве средних. Критерии согласия
Пусть требуется проверить нулевую гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины. Уровень значимости принять a=0,001. Обычно точные параметры гипотетического нормального закона нам неизвестны, поэтому нулевую гипотезу (Н0) словесно можно сформулировать следующим образом: F(х) является функцией нормального распределения с параметрами М(X) =а = и D(X) = . Для проверки этой нулевой гипотезы найдем точечные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины: : (11.4) При проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности сравниваются эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормальности распределения) частоты. Для этого используются статистика c2 – Пирсона с n=k-r-1 степенями свободы (k – число групп, r – число оцениваемых параметров, в настоящем примере оценивались математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, следовательно, r = 2). Если c2расч. ³ c2кр., то нулевая гипотеза отвергается и считается, что предположение о нормальности распределения не согласуется с опытными данными. В противном случае (c2расч. < c2кр.) нулевая гипотеза принимается. Вычисляются теоретические вероятности рi, попадания СВ Х®N в частичные интервалы [xi-1; xi) по формуле:
, (i=1,2,...,k), (11.5) где . (11.6) Применение критерия c2, для проверки гипотезы о нормальности распределения предполагает наличие в каждом частичном интервале не менее пяти единиц, в противном случае желательно объединять эти интервалы с соседними. Проверка гипотезы о принадлежности СВ показательному, биномиальному, пуассоновскому или другому распределению основывается на применении в описанном алгоритме соответствующих интегральных функций.
По таблице квантилей c2-распределения, при заданном уровне значимости a и числе степеней свободы n=k-r-1 находится критическое значение, которое сравнивается с фактически наблюдаемым значением. Если c2расч.< c2кр., то нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о нормальном законе распределения. Пример. Из нормальной генеральной совокупности сельскохозяйственных предприятий, рассматриваемых по показателю урожайности пшеницы, с известным средним квадратическим отклонением s=9,4 и генеральной средней =38,1, извлечена выборка объема n=50. По ней найдена выборочная средняя =42. Требуется при уровне значимости a=0,05 проверить нулевую гипотезу Н0: а) , при конкурирующей гипотезе Н1: ¹38,1; б) , при конкурирующей гипотезе Н1: <38,1; в) , при конкурирующей гипотезе Н1: >38,1. Решение. Необходимо рассмотреть критерий К=u, где (11.7) а) По условию конкурирующая гипотеза имеет вид ¹38,1, поэтому критическая область двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства Ф(uкр.,a/2)=(1-a)/2=(1-0,05)/2=0,475. Согласно приложения 1: uкр.=1,96. , поэтому следует отклонить нулевую гипотезу, то есть выборочная и гипотетическая генеральная средняя статистически различаются значимо. б) По условию конкурирующая гипотеза имеет вид <38,1, поэтому критическая область левосторонняя. Найдем критическую точку из равенства Ф(uкр.,a)=(1-2a)/2=(1-0,1)/2=0,45. Согласно приложения 1: uкр.= -1,65. uрасч. > uкр., поэтому следует принять нулевую гипотезу Н0, то есть выборочная и гипотетическая генеральная средняя статистически различаются не значимо. в) По условию конкурирующая гипотеза имеет вид >38,1, поэтому критическая область правосторонняя. Найдем критическую точку из равенства Ф(uкр.,a)=(1-2a)/2=(1-0,1)/2=0,45. Согласно приложения 1: uкр.=+1,65. uрасч. > uкр.. поэтому следует отклонить нулевую гипотезу Н0, то есть выборочная и гипотетическая генеральная средняя статистически различаются значимо.
Пример. Оценить существенность различий в средней урожайности двух сортов озимой пшеницы, если для первого сорта средняя урожайность ц/га и выборочная дисперсия , а для второго сорта средняя урожайность и выборочная дисперсия . Объемы выборок n1=5 и n2=5 соответственно. Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу о том, что средние урожайности двух сортов пшеницы не отличаются друг от друга, т.е. , при альтернативной гипотезе -урожайности существенно различны. Примем уровень значимости .Так как выборки независимы, причем ,то применим критерий t – Стьюдента с степенями свободы. . (11.8) Критическое значение t-распределения: ,при числе степеней свободы .
Так как tрасч. > tкр , то нулевую гипотезу следует отклонить. Следовательно, два сорта пшеницы отличаются статистически значимо по величине урожайности.
Если проверяется нулевая гипотеза о равенстве двух выборочных средних (), при конкурирующей гипотезе (уровень значимости принять равным 0,05), то используется критерий t – Стьюдента с степенями свободы: . (11.9)
Пример. Два сорта озимой пшеницы испытывались на одинаковом числе участков на протяжении семи лет (табл.8). При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о существенности различий в урожайности двух сортов озимой пшеницы. Решение. Так как имеются две зависимости выборки, т.е. существует определенная корреляция между урожайностью сортов по годам, то необходимо оценить значимость не разности двух выборочных средних, а средней разности. Выдвигаем нулевую гипотезу: средняя величина различий в урожайности пшеницы равна нулю, при . Вспомогательная таблица для расчета ошибки средней разности
. По данным таблицы найдем среднюю разность и ошибку средней разности : ; ; ,
где , n – число пар наблюдений. При =0,05; k=n-1=7-1=6, tкр.=2,45 Сопоставив расчётное значение t с критическим, можно сделать вывод, что два сорта существенно различаются по уровню урожайности.
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 866; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |