КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные уравнения Определение 12.1. Дифференциальное уравнение го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и ее производных , т. е. имеет вид: (13.9) где и — заданные функции от или постоянные, причем для всех значений из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (13.9). Функция , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Если , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением с правой частью. Если же , то уравнение имеет вид: (13.10) и называется линейным однородным или уравнением без правой части. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка: , (13.11) где и — постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения необходимо решить так называемое характеристическое уравнение: (13.12) Корни данного квадратного уравнения: и (13.13) Возможны следующие случаи: 1. и — действительные числа, которые не равны между собой. Общий интеграл имеет вид: . (13.14) 2. и — комплексные числа. Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим: ; . где , . Общее решение уравнения (12.11) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид: (13.15) где и — произвольные постоянные. 3. и — действительные равные числа. Общим интегралом будет функция: (13.16) Пример 13.3. Дано уравнение . Найти общий интеграл. Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: Найдем корни характеристического уравнения: . Общий интеграл есть:
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 416; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |