Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные уравнения

Определение 12.1. Дифференциальное уравнение го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и ее производных , т. е. имеет вид:

(13.9)

где и — заданные функции от или постоянные, причем для всех значений из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (13.9). Функция , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным уравнением с правой частью. Если же , то уравнение имеет вид:

(13.10)

и называется линейным однородным или уравнением без правой части.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка:

, (13.11)

где и — постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения необходимо решить так называемое характеристическое уравнение:

(13.12)

Корни данного квадратного уравнения:

и (13.13)

Возможны следующие случаи:

1. и — действительные числа, которые не равны между собой. Общий интеграл имеет вид:

. (13.14)

2. и — комплексные числа. Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то обозначим: ; .

где , . Общее решение уравнения (12.11) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:

(13.15)

где и — произвольные постоянные.

3. и — действительные равные числа. Общим интегралом будет функция:

(13.16)

Пример 13.3.

Дано уравнение . Найти общий интеграл.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид:

Найдем корни характеристического уравнения:

.

Общий интеграл есть:

Дата добавления: 2014-11-20