КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка: (13.17) Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой: Теорема 13.1. Общее решение неоднородного уравнения (12.17) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения: (13.18) Таким образом, общее решения уравнения (12.17): (13.19) Пусть имеем уравнение (13.20) где и — действительные числа. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение неоднородного дифференциального уравнения иногда бывает возможно найти сравнительно просто, не прибегая к интегрированию. Рассмотрим несколько таких случаев. I. Пусть правая часть уравнения (12.20) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т. е. имеет вид: (13.21) где — многочлен й степени. Тогда возможны следующие частные случаи: а) Число не является корнем характеристического уравнения . В этом случае частное решение следует искать в виде: (13.22) б) Число является однократным корнем характеристического уравнения. Частное решение в этом случае: (13.23) в) Число является двукратным корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение будет иметь вид: (13.24) II. Пусть правая часть уравнения (13.20) будет иметь вид: (13.25) где и — многочлены. а) Если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (13.20) следует искать в виде: (13.26) где и — многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов и . б) Если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (13.20) следует искать в виде: (13.27) При этом во избежании возможных ошибок следует отметить, что указанные формы частных решений (13.26) и (13.27), очевидно, сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (13.20) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е., когда правая часть имеет вид: или .
Рассмотрим далее важный частный случай. Пусть правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид: (13.28) где и — постоянные числа. а) Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде: (13.29) б) Если является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде: (13.30) Пример 13.3. . Решение будем искать в виде: . Характеристическое уравнение , (13.31) Общее решение соответствующего однородного уравнения . Частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид многочлена второй степени . Продифференцируем его два раза: ; и подставим , , в левую часть исходного уравнения: . Приравнивая между собой коэффициенты левой и правой части при одинаковых степенях неизвестной, получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты A, B, C: при ; при ; т.е. (13.32) при , Отсюда , , . Тогда и общее решение данного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: .
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 452; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |