КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формула трапецийФормулы прямоугольников Методы решения Предлагается реализовать четыре обязательных метода численного интегрирования функций – левосторонних и правосторонних прямоугольников, трапеций и Симпсона и, по желанию, один из двух дополнительных – Чебышева или Гаусса. В формуле левосторонних прямоугольников полагаем, что на отрезке [xi, xi+1] функция φi(x) = 1, ci = yi (рис. 2.7.1). Очевидно, что Фi(x) = x, k = n–1. Тогда из (2.7.1) получаем: (2.7.5) Если сетка равномерная, то (2.7.6) Рис. 2.7.1 – Интегрирование левосторонней формулой прямоугольников В формуле правосторонних прямоугольников полагаем, что на отрезке [xi, xi+1] функция φi(x) = 1, ci = yi+1 (рис. 2.7.2). Тогда Фi(x) = x, k = n–1, и из (2.7.1) получаем (2.7.7) Если сетка равномерная, то (2.7.8) Рис. 2.7.2 – Интегрирование правосторонней формулой прямоугольников В формуле трапеций полагаем, что функция на отрезке [xi, xi+1] заменяется прямой линией, соединяющей точки (xi, yi) и (xi+1, yi+1) (рис. 2.7.3). Рис. 2.7.3 – Интегрирование формулой трапеций Несложно записать уравнение прямой, проходящей через две точки: Интегрируем: (2.7.9) Это же выражение можно легко получить из геометрических соображений (см. рис. 2.7.3). Есть и еще один способ вывода данной формулы. Очевидно, что на каждом интервале функция заменяется полиномом первого порядка. Нам уже известны полиномы, интерполирующие табличную функцию по p+1 точке и дающие при этом степенной полином порядка p – это полиномы Ньютона и Лагранжа. Как уже было сказано, они являются разной формой записи одного и того же полинома, поэтому их применение даст одинаковый результат. Возьмем, например, полином Лагранжа. Тогда (2.7.10) Здесь A* – некоторые квадратурные коэффициенты. Если сетка равномерная, то делаем замену (2.5.9): (2.7.11) Т.к. сетка равномерная, квадратурные коэффициенты не зависят от индекса r. Используем выражение (2.5.6) и введем новые коэффициенты Hi: (2.7.12) (2.7.13) Коэффициенты Hi называются коэффициентами Ньютона-Котеса. Для построения полинома первого порядка нужны всего две точки (т.е. p = 1), поэтому сетку можно считать равномерной. Интегрируя (2.7.13), получим (2.7.14) Т.е. полученное выражение совпадает с (2.7.9). Остается только просуммировать по всем интервалам: (2.7.15) Если сетка равномерная, то (2.7.16)
Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 460; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |