Тема: Пересечение поверхностей тел плоскостями и прямыми

Задание поверхности на эпюре проекциями геометрической части определителя обладает одним недостатком: отсутствует наглядность. Наглядность достигается вычерчиванием очертания поверхности на эпюре. Пусть заданы некоторая поверхность j, плоскость проекций p¢ и направление проецирования s (рис. 31). Проводим проецирующие лучи, которые являются касательными к поверхности j. Обозначим точки касания А, В, С, …, которые проецируются на плоскость p¢ в точки А¢, В¢, C¢, …. Линия l, определяемая точками А, В, C, …, делит поверхность j на две части. Точки правой части поверхности расположены ближе к плоскости проекций p¢, поэтому они будут невидимыми на эпюре. Наоборот, точки левой (удаленной) части поверхности будут видимыми. Поэтому линию l называют линией видимости. Линия l¢, определяемая точками А¢, В¢, C¢, …, делит точки плоскости p¢ на две области. Точка, расположенная вне этой линии, является проекцией точки, не принадлежащей поверхности j. Точки поверхности j проецируются в точки, расположенные внутри линии l¢. Поэтому линию l¢ называют очертанием поверхности на плоскости p¢. Таким образом, очертание поверхности – это проекция линии видимости на соответствующую плоскость проекций.

Пример 1. Построить очертания сферы j (О, А) на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций, если О (О₁, О₂) – центр сферы и А (А₁, А₂) – точка, принадлежащая сфере.

Решение. Определяем натуральную величину отрезка А О способом вращения вокруг горизонтальной проецирующей оси, проходящей через точку О. ï А Оïï О₁ ï R – радиус сферы. Окружность а₁, проведенная из центра О₁ радиусом R ï О₁ ï, будет фронтальным очертанием, а окружность b ₂, проведенная из центра о_{2 ­} радиусом ­ R ï О ï, будет горизонтальным очертанием сферы. Горизонтально расположенные диаметры b₁ и а₂ этих окружностей а₁ и b₂ будут линиями видимости относительно плоскостей p₂ и p₁. Две точки О и А определяют сферу, но из чертежа невозможно однозначно установить это. После вычерчивания очертания (окружностей а₁ и b₂) стало возможным "увидеть" заданную сферу.

Вопросы классификации поверхностей

Классификация поверхностей имеет важное значение. Однако, все еще нет общепризнанного способа систематизации поверхностей. По виду образующей различают линейчатые (образующая – прямая), циклические (образующая – окружность) и другие поверхности. По закону перемещения образующей различают поверхности вращения, винтовые поверхности и т.д. При этом некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным классам. Например, коническая поверхность вращения является линейчатой поверхностью и поверхностью вращения. Поэтому разработка всеобъемлющей классификации поверхностей представляет собой сложную и нерешенную проблему. Мы ограничимся рассмотрением наиболее распространенных в технике поверхностей: поверхностей вращения, линейчатых, винтовых и циклических.

Общий алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей.

Пусть даны две поверхности a и b, линию пересечения которых требуется построить (рис. 32). Проводим вспомогательную поверхность g так, чтобы она пересекалась с каждой из данных поверхностей a и b. Линию пересечения поверхностей a и g обозначим буквой а, а линию пересечения поверхностей b и g буквой. Линии а и, принадлежащие поверхности g, могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек. Если линии а и имеют общие точки, то последние принадлежат линии k пересечения поверхностей a и b, так как а Î a и а Î b. Повторяем построение, изменив положение поверхности g в пространстве. Тогда получим новые точки, принадлежащие искомой линии пересечения поверхностей a и b. Определив в достаточном количестве таких точек, как точки, соединяем их кривой линией с помощью лекала.

Алгоритм построения линии пересечения поверхностей a и b:

При этом надо подобрать подходящую вспомогательную поверхность для каждой задачи, которая дает достаточно простое построение точек. Для этого вспомогательная поверхность должна быть выбрана так, чтобы линии а и и их проекции были бы геометрически простыми линиями, т.е. прямыми или окружностями.

Если a и b – алгебраические поверхности, соответственно, порядка m и n, то линия их пересечения k будет алгебраической кривой порядка (теорема Безу).

Полезно делить точки линии пересечения на опорные и промежуточные. К опорным относятся особые, экстремальные точки, а также точки делящие проекцию линии пересечения на видимые и невидимые части. Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с определения ее опорных точек. Опорные точки позволяют видеть в каких пределах нужно изменить положение вспомогательных поверхностей для нахождения промежуточных точек.

Исходя из опыта решения задач на построение линии пересечения поверхностей, принято выделять два способа: способ вспомогательных плоскостей и способ вспомогательных сфер.

Основная литература: 1.7.1 (154….160)

Дополнительная литература: 1.7.17 (222….229), 1.7.10 (132…145), 1.7.11(194…226).

Контрольные вопросы.

1.В каких случаях можно применять способ:

а) секущих плоскостей;

б) связка плоскостей с несобственной прямой;

2.Какие точки линии пересечения поверхностей называются опорными?

Дата добавления: 2014-11-20