Указания к выполнению контрольной работы 6 страница

Значения показателей объема продукции, прибыли, среднегодовой стоимо­сти основных средств и среднесписочного числа работников по каждой группе и по всем предприятиям получаются суммированием соответствующих значе­ний по каждому предприятию из вспомогательной таблицы.

Средние показатели объема продукции и прибыли на одного работника рассчитаны делением соответствующих суммарных показателей на число ра­ботников по группе (или по всем предприятиям). Аналогично рассчитаны сред­ние показатели объема продукции и прибыли на один млн. руб. основных средств.

По результатам группировки, приведенной в аналитической таблице, можно сделать следующие выводы.

По объему продукции предприятия разделены на мелкие, средние и крупные. Доля мелких предприятий значительно ниже, чем доля средних и крупных.

Значение объема продукции в среднем на одного работника возрастает от мелких предприятий к крупным (I гр. - 223,1 тыс. руб., II гр. - 252,04 тыс. руб., III гр. - 360,53 тыс.руб.).

Еще более значительно растет прибыль на одного работника (I гр. - 25 тыс. руб., II гр. - 40,82 тыс. руб., III гр. - 84,88 тыс. руб.). На крупных предпри­ятиях прибыль на одного работника в 3,4 раза выше, чем на мелких, и в два с лишним раза выше, чем на средних.

Аналогичная картина наблюдается и при сравнении объема продукции и прибыли в среднем на 1 млн. руб. основных средств. Так для крупных предпри­ятий эта прибыль примерно в два с половиной (5,98:2,317ss2,58) раза больше, чем для мелких и в 1,6 раза больше, чем для средних.

Эти данные свидетельствуют о наибольшей эффективности предприятий третьей группы.

Задача 7.

Абсолютные, относительные и средние величины

По каждому из трех предприятий фирмы (г- порядковый номер предпри­ятия), имеются соответствующие данные о фактическом объеме реализованной в 2000 г. продукции (у₀ млн.руб.), о плановом задании по росту реализованной продукции на 2001 г. (8, %), а также о фактическом объеме реализованной в 2001 г. продукции (у_х млн.руб.). Статистические данные приведены в таблице.

Требуется определить в целом по фирме:

1) размер планового задания по росту объема реализованной продукции в
2001 г;

2) процент выполнения плана по объему реализованной продукции в
2001г.;

3) показатель динамики реализованной продукции.

i	y0i	δi%	y1i
	28,5	103,0
	51,5	105,0	55,5
	62,5	102,5	63,0

При решении задачи используются следующие понятия: Относительный показатель динамики (ОПД) характеризует изменение явления во времени

ОПД= или в процентах ОПД= 100%,

где у₀ - базовый уровень исследуемого явления. В нашей задаче это объем реа­лизованной продукции в 2000г; у _i (i - 0,1,2,3,...) - уровень явления за одинаковые последовательные периоды времени (например, выпуск продукции по годам). ОПД иначе называются темпами роста. Они могут быть базовыми или цепными .

Относительный показатель плана ОПВП) - отношение величины показате­ля по плану (у _пл) к его фактической величине в базисном (или предшествую­щем) периоде.

ОПП= или ОПП= 100%.

Относительный показатель выполнения плана (ОПВП) - отношение фак­тической (отчетной) величины показателя у ₁к запланированной на тот же пе­риод времени его величине

ОПВП=

ОПД, ОПП и ОПВП связаны соотношением или

опп·опвп=опд.

Решение задачи 7.

1. Найдем размер планового задания в целом по фирме по росту объема реализованной продукции в 2001 г., т.е. ОППф - относительный показатель плана фирмы.

Для этого найдем сначала плановое задание на 2001 г. по каждому пред­приятию и в целом по фирме

28,5·1,03+51,5·1,05+62,5·1,025=

= 29,355 + 54,075 + 64,0625 = 147,4925 (млн.руб.).

Достигнутый в базисном периоде (2000г.) уровень в целом по фирме

составляет 28,5 + 51,5 + 62,5 = 142,5 (млн.руб.)

Теперь можно найти относительный показатель плана в целом по фирме на 2001г.

ОППф=

или в процентах ≈103,5%.

2. Найдем процент выполнения плана по объему реализованной продукции в 2001 г. в целом по фирме (ОПВПф). Для этого найдем фактический уровень, достигнутый в 2001 г.

31 + 55,5 + 63,0 = 149,5 млн.руб., тогда

ОПВПф= 1,0136108 или 101,36%, т.е. план перевыполнен на 1,36%.

3. Найдем относительный показатель динамики реализованной продукции в целом по фирме (ОПДф)

ОПДф= 1,0491228 или ≈104,91%,

т.е. фактический рост составил ≈4,91%.

Проверка: ОПДф=ОППф·ОПВПф=1,035035·1,0136108=1,049123.

Задача 8.

Элементы дисперсионного анализа.

По каждой из трех основных рабочих профессий цеха (i -порядковый номер профессии: 1-токари; 2-фрезеровщики; 3-слесари) имеются соответствую­щие данные о числе рабочих профессии ( чел.), о средней заработной плате

( руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы ( руб²). Статистические данные за месяц приведены в таблице.

Требуется:

1)определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха;

2)оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы;

3)определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.

i

Предварительные сведения.

Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака стати­стической совокупности используются абсолютные и относительные показате­ли. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО)

,

где - наблюдённые значения признака (варианты), п - общее число вариант (объем выборки). Суммирование в этой формуле производится по всем вариан­там; - среднее значение признака, - среднее значение квадрата признака

.

Изучая только общую дисперсию интересующего исследователя признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количе­ственных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода груп­пировки, когда варианты подразделяются на непересекающиеся группы по признаку-фактору. При этом, кроме общей средней по всей выборке, рас­сматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дис­персии:

1.общая дисперсия

2.межгрупповая дисперсия ,

3.внутригрупповые дисперсии ,

4.средняя внутригрупповая дисперсия .
Кратко охарактеризуем эти дисперсии.

1. Общая дисперсия учитывает влияние всех факторов, от которых за­висит величина изучаемого признака X

,

где - общая средняя по всей выборке.

2. Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

здесь - внутригрупповые средние, - число вариант в i -ой группе; к число групп, суммирование производится по различным группам.

3. Внутригрупповая дисперсия

отражает рассеяние значений признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а дру­гими причинами.

4. Средняя внутригрупповая дисперсия , так же как и , характеризу­ет случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле

.

Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий

Отношение показывает, какую долю общей дисперсии составляет

дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволя­ет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака X.

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же сово­купности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации

Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превыша­ет 33% (для распределений, близких к нормальному).

Решение задачи 8.

1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий

1967,17 (руб²).

Определим среднюю зарплату по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю)

2597,67(руб).

Находим межгрупповую дисперсию

=19438(руб²).

Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:

= 19438 +1967 = 21405 (руб²).

2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной
заработной платы с помощью коэффициента вариации

5,63%.
Так как V < 33 %, то совокупность считается однородной.

3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена разли­чиями в профессии на

.

Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на

Задача 9.

Элементы корреляционного анализа.

По 14-ти предприятиям городского хозяйства (i-порядковый номер предприятия) имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц (у млн.руб.) и уровне механизации труда (х, %). Статистические данные

приведены в таблице.

Для выявления наличия корреляционной связи между объемом продукции

и уровнем механизации труда требуется:

1) измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента

корреляции рангов Спирмена;

2) проверить его достоверность на уровне значимости α=0,05;

С помощью выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена оценивается теснота связи между двумя качественными переменными X и Y. Этот коэффициент применяется и в случае количественных переменных, ес­ли заранее не гарантируется нормальность распределения двумерной случайной величины (X,Y).

Выборочный коэффициент служит точечной оценкой генерального ко­эффициента ранговой корреляции . Коэффициенты и изменяются от минус единицы до плюс единицы. Чем ближе к 1, тем теснее связь между переменными X и Y.

1. Для того чтобы вычислить коэффициент ранговой корреляции , нужно сначала провести ранжировку объектов и получить две согласованные последовательности рангов.

Расположим наблюдаемые пары в порядке невозрастания качества по показателю X:

Затем пронумеруем объекты (числа) в каждой из строк в порядке неубывания. Рангом объекта называется его номер в ранжировке. Получим следующую таблицу:

	9		8	10	11

В первой ранжировке обведены группы объектов, имеющих одинаковое качество по переменной X; во второй ранжировке единообразно отмечены объекты, имеющие одинаковое качество по переменной Y.

Далее объектам одинакового качества присваиваем средние ранги (средние арифметические порядковых номеров этих объектов). В результате получим две согласованные последовательности рангов:

	1,5	1,5	3,5	3,5			7,5	7,5					13,5	14,5
		7,5	7,5
	-8,5	-6	-4	-6,5	-5	-8	1,5	-5,5					1,5	13,5

В последней строке записаны разности рангов .

Найдем сумму квадратов разностей рангов: =670,5 и по известной формуле вычислим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

2) Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена на заданном уровне значимости αвыдвигается гипотеза Н_о об отсутствии ранговой корреляционной связи:

.

Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента

,

где п - число пар (x_i, y _i)в выборке.

При условии справедливости гипотезы H₀ случайная величина Т имеет известное t -распределение Стьюдента с к=п-2 степенями свободы.

Зная , вычисляем наблюдаемое значение статистики Стьюдента:

и число степеней свободы к = п - 2 = 12.

По таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторон­ней критической области находим критическую точку статистики Стьюдента (см. например [4]),

.

Критерий проверки:

1.Если , то гипотеза H₀ сохраняется (ранговая корреляционная связь практически отсутствует);

2.Если , то гипотеза Н ₀ отвергается (существует значимая корреляционная связь между переменными X и Y).

В нашем случае \Т_набл\ = 1,863 < =2,18, поэтому в соответствие с крите­рием проверки заключаем, что незначимо отличается от нуля, т.е. ранговая корреляционная связь практически отсутствует.

Задача 10.

Прогнозирование на основе сглаженного временного ряда

Динамика удельного расхода условного топлива на производство тепло-энергии (y_t, кг/Гкал) на ТЭЦ по годам представлена в таблице. Требуется:

1)произвести сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней;

2)выровнять ряд по прямой - т.е. оценить параметры b _o ,b ₁линейного
тренда = b₀ + b ₁ t методом наименьших квадратов;

3)начертить графики первичного и сглаженных рядов;

4)на уровне значимости α = 0,05 проверить согласованность линейной
трендовой модели с результатами наблюдений;

5)методом экстраполяции найти точечные и интервальные (с доверитель­
ной вероятностью γ = 0,95) оценки прогноза экономического показателя y_t на
2002 и 2003г.г.

yt	169,2	168,1	168,6	168,4	167,9	167,6	167,8	166,9	167,1

(n=9)
Временным рядом называется последовательность значений (уровней) не­которого экономического показателя y_t, расположенных в порядке возрастания времени. Уровни ряда должны отражать значения экономического показателя за одинаковые или через одинаковые промежутки времени.

Одной из важнейших задач исследования временного ряда является задача выявления основной тенденции развития (тренда) изучаемого процесса.

Решение этой задачи необходимо для прогнозирования. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Наиболее простыми и часто применяемыми способами выявления основ­ной тенденции развития являются сглаживание временного ряда методом скользящей средней или выравнивание по прямой методом наименьших квадратов.

1) Метод скользящей средней основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени "скользит" вдоль ряда, получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд.

Для нашего примера скользящие средние находим по формуле

.

Например, при t = 2

(169,2 +168,1 +168,9) 168,7,

при t = 3 (168,1 +168,9 +168,4) 168,5.

По результатам получим сглаженный ряд:

yt	–	168,6	168,4	168,3	168,0	167,8	167,8	167,3	–

2) По статистическим данным найдем оценки и параметров линейно­го тренда методом наименьших квадратов. Для этого применим из­вестные формулы [1]:

,

где .

Здесь и в дальнейшем t - номер уровня ряда: 1993 г. соответствует номер 1,... 2001 году - номер 9.

Вычисление средних значений организуем в форме расчетной таблицы.

		yt
	169,2		28628,64	169,2
	168,1		28257,61	336,2
	168,6		28425,96	505,8
	168,4		28358,56	673,6
	167,9		28190,41	839,5
	167,6		28089,76	1005,6
	167,8		28156,84	1174,6
	166,9		27855,61	1335,2
	167,1		27922,41	1503,9
		1511,6		253885,8	7543,6
		167,955	31,67	28209,53	838,18

Дата добавления: 2014-12-08