Единственность предела последовательности

Замечание 3.2. Если существует и число фиксировано, то существует номер такой, что для всех выполнено неравенство .

Действительно, если обозначить то, по определению предела, существует такой номер , что выполнено . Тогда в качестве номера возьмем .

ТЕОРЕМА 3.1. (о единственности предела последовательности). Сходящаяся последовательность не может иметь двух различных пределов. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Докажем методом от противного. Пусть последовательность сходится и имеет два различных предела и , . Тогда, по определению предела, существует номер такой, что выполнено неравенство:

.

(3.1)

и существует номер такой, что выполнено неравенство

.

(3.2)

Возьмем . Тогда неравенства (3.1) и (3.2) выполняются одновременно для любого номера . Оценим разность :

.

Значит, , что невозможно, например при . Отсюда вытекает, что наше предположение неверно, то есть .

Дата добавления: 2014-12-08