Свойства бесконечно малых последовательностей

Примеры.

3.10. Последовательность — бесконечно малая, так как .

3.11. — бесконечно малая последовательность, так как .

3.12. — бесконечно малая последовательность, так как .

Свойство I. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть и — бесконечно малые последовательности. Покажем, что — бесконечно малая последовательность. По предположению . Тогда, по определению предела, существует число такое, что выполнено неравенство

.

(3.3)

и существует число такое, что выполнено

.

(3.4)

Возьмем, . Тогда неравенства (3.3) и (3.4) выполнены одновременно и

.

Следовательно, .

Аналогично, для разности получаем

.

Следовательно, .

Свойство II. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Пусть — бесконечно малая последовательность, то есть и — ограниченная, то есть, существует такое число , что выполнено неравенство .

По определению предела, существует число такое, что выполнено неравенство . Для всех имеем: . Это означает, что .

Следствие 3.1. Последовательность , где — бесконечно малые последовательности, — ограниченные, является бесконечно малой последовательностью.

ТЕОРЕМА 3.2. Для того чтобы число a было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы ее общий член имел вид , где — бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Докажем, что ее общий член имеет вид , где — бесконечно малая последовательность. Определим последовательность . Тогда из условия следует, что существует число такое, что выполнено . Значит, . Это равносильно тому, что , то есть, последовательность — бесконечно малая и .

Достаточность. Пусть , где — бесконечно малая последовательность. Докажем, что .

Так как, , то . Поскольку , то существует число такое, что выполнено . Отсюда следует, что .

Дата добавления: 2014-12-08