Частичные пределы

Подпоследовательности

Принцип Кантора вложенных отрезков

Примеры.

3.25. Вычислить предел .

Решение. Имеем . Выполнив соответствующие преобразования, получаем

.

3.26. Вычислить предел .

Решение. Находим

.

Определение 3.12. Система числовых отрезков , где называется системой вложенных отрезков, если , то есть если выполнено включение .

ТЕОРЕМА 3.14. Если при , то существует единственная точка принадлежащая всем вложенным отрезкам и .

Доказательство. Так как по условию выполнены неравенства и , то последовательности и монотонны. При этом — возрастающая, — убывающая последовательности и и . Поэтому последовательность ограничена сверху, а — снизу. По теоремам 3.7 и 3.8 существуют и .

По теореме 3.7 получим:

.

Таким образом — единственная точка в силу теоремы 3.1 о единственности предела.

Определение 3.14. Если дана последовательность и из некоторых ее членов , взятых в порядке возрастания номеров (, для ), составлена новая последовательность , то она называется подпоследовательностью последовательности .

Например, для последовательности последовательность является ее подпоследовательностью, а последовательность не является подпоследовательностью .

В подпоследовательности число является номером члена этой последовательности, а — его номером в исходной последовательности.

Определение 3.15. Пределы сходящихся подпоследовательностей некоторой последовательности называются ее частичными пределами.

Например, из расходящейся последовательности можно выделить подпоследовательность , которая сходится к .

Последовательность расходится, но содержит две сходящиеся подпоследовательности и .

ТЕОРЕМА 3.15. Если последовательность сходится и , то и любая её подпоследовательность сходится и .

Обратно. Если любая подпоследовательность последовательности сходится, то все частичные пределы совпадают и равны пределу последовательности : .

Доказательство. Если , то вне любой окрестности точки имеется разве лишь конечное число членов последовательности , а значит и конечное число членов любой её подпоследовательности . Это и означает, что .

Для доказательства обратного утверждения заметим, что сама последовательность, являясь своей подпоследовательностью, сходится по условию. Пусть . Тогда по доказанному выше для любой подпоследовательности .

Замечание 3.8. Из сходимости некоторой подпоследовательности не следует сходимость всей последовательности .

Дата добавления: 2014-12-08