II. Решение задач. Домашнее задание: повторить материал пунктов 105–112; решить задачи №№ 1107, 1132, 1137

Ход уроков

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105–112; решить задачи №№ 1107, 1132, 1137.

Уроки 9–10
Решение задач по материалу главы XII

Цели: закрепить знания и умения учащихся по изученному материалу главы; подготовить учащихся к контрольной работе.

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности.

2. Найдите длину дуги окружности радиуса 9 м, если градусная мера дуги равна 120°.

3. Длина дуги окружности равна 3π, а ее радиус равен 8. Найдите градусную меру этой дуги.

4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 13 и 12 см.

5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 4 см, если его центральный угол равен 45°.

6. Площадь кругового сектора равна 18π м², а его центральный угол равен 40°. Найдите радиус сектора.

Вариант II

1. Длина окружности равна С. Найдите площадь ограниченного ею круга.

2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 25 и 24 см.

3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3 см, если его центральный угол равен 20°.

4. Площадь кругового сектора равна 10π м², а его радиус равен 6 м. Найдите центральный угол сектора.

5. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 дм, если ее градусная мера равна 120°.

6. Найдите радиус окружности, если длина дуги окружности равна 6π, а ее градусная мера равна 60°.

1. Решить задачу 1. Докажите, что площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле:

,

где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

Доказательство

Пусть О – центр окружности, которая вписана в треугольник АВС и, следовательно, касается сторон треугольника в точках М, N и K.

Очевидно, что S = SАОС + SВОС + SАОВ. * Так как ОМ, ОN и ОK – высоты треугольников АОС, ВОС и АОВ, то SАОС = АС · ОK, SВОС = ВС · ОМ и SАОВ = АВ · ОN. Подставив эти значения в формулу *, получим: S = (AB + BC + CA) · r = P · r.

2. Решить задачу 2. даны стороны треугольника АВС – а, b, с и площадь S. Выразить радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, через а, b, с и S.

Решение

1) Используем результат задачи 1:

S = Pr, где Р – периметр треугольника, r – радиус вписанной окружности. Р = а + b + с; 2 S = r (а + b + c), отсюда:

2) Радиус R описанной окружности вычисляется по формуле:

R = , где  – угол, противолежащий стороне а.

Из формулы: S = bc · sin  получим sin  = , тогда 2sin = . Следовательно, R = .

3. Решить задачу № 1099 на доске и в тетрадях.

Решение

Диагонали А ₃ А ₇ и А ₄ А ₈ четырехугольника А ₃ А ₄ А ₇ А ₈ являются диаметрами окружности, в которую вписан данный восьмиугольник, поэтому они равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, четырехугольник А ₃ А ₄ А ₇ А ₈ – прямоугольник. Так как угол А ₃ ОА ₄ = 45°, то согласно задаче 1059 площадь прямоугольника равна R ².

4. Решить задачу № 1105 (в) (объясняет учитель).

Решение

Пусть АВС – данный треугольник, угол С = 90°, угол В = , АВ = с, ВС = а, СА = b; Р = а + b + с, r – радиус вписанной окружности. Тогда а = с · cos , b = c · sin .

Воспользуемся двумя формулами для вычисления площади S треугольника АВС (метод площадей):

. Отсюда, получаем,

r = , поэтому C = 2π r = .

Умножив числитель и знаменатель дроби на cos  + sin – 1, после несложных преобразований получаем: c = π c (sin  + cos  – 1).

5. Решить задачу № 1117 (в).

решение

Применим метод площадей, то есть воспользуемся двумя формулами для вычисления площади треугольника:

S = ab sin  и S = Pr, где а и b – длины сторон треугольника,  – угол между ними, Р – периметр, r – радиус вписанной окружности. Получим:

S = a ² sin и S = r · а .

Отсюда находим r, а затем площадь круга:

S _круга = .

6. Решить задачи № 1110, 1138, 1116 (в).

Примечание. решения некоторых из них полезно предварительно обсудить, а затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с последующей проверкой ответов или решений.

Дата добавления: 2014-12-08