Интегральное исчисление

1.Основные правила интегрирования

1. Если то где – произвольная постоянная. 2. где – постоянная. 3.

2.Таблица основных неопределенных интегралов

1. . 2. 3. . 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

3.Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием. Пример: - + )dx = 2 dx - dx - dx + 3 = 2 - +3 arcsin x + C При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид: . (1) Во втором случае: . (2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. Пример 1. Вычислить интеграл: Решение. Сделаем замену переменных t=x+1 и найдем дифференциал от обеих частей, тогда dt = (x+1)'dx ⇒ dt= dx Подставляя все в исходный интеграл, получим: = = +C = +C, где C - const. Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных. В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Пример 2:

(положим t = 2x+3, тогда x= t- , dx = dt)

= =- +C= =- +C

Пример 3:

dx= (положим t= x² +25, тогда dt = 2x dx, x dx= dt) = * dt= dt= +C = +C = +C = +C

Дата добавления: 2014-12-08