Адаптивные полиномиальные модели

Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков. Выравнивание р -го порядка:

(5.51)

является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (р - 1)-го порядка.

Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени п, то коэффициенты предсказы­вающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.

В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом n -го по­рядка, прогноз на t шагов вперед осуществляется по формуле:

, (5.52)

где - оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглажи­вания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Брауном и Р. Майером, говорит о том, что (п +1) неизвестных коэффициентов полинома п -го порядка могут быть оценены с помощью линейных

комбинаций экспоненциальных средних S_t⁽ⁱ⁾ где i =l,…, n +l.

Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненци­альных средних, порядок которых изменяется от 1 до п +1, а затем че­рез их линейные комбинации к определению коэффициентов полинома.

На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка. Например, при использовании полинома первого порядка адаптивная модель временного ряда имеет вид:

y_t = a_1,t + a_2,t + e_t, (5.53.)

где a_1,t - значение текущего t -го уровня;

a_2,t - значение текущего прироста.

В таблице (5.6) приведены формулы, необходимые для расче­та по этим моделям. Процедура прогнозирования временных рядов по методу экспоненциального сглаживания сравнительно проста и со­стоит из следующих этапов:

1. Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, за­дается значение параметра сглаживания a. При выборе порядка адаптивной полиномиальной модели могут использоваться раз­личные подходы, например, графический анализ, метод изменения разностей и др.

2. Определяются начальные условия. Например, для полиноми­альной модели первого порядка необходимо определить .

Чаще всего в качестве этих оценок берут коэффициенты соответствующих полиномов, полученные методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели нулевого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уравнений ряда. Зная эти оценки, с помощью указанных в таблице формул находят начальные значения экспоненциальных средних.

3. Производится расчет значений соответствующих экспоненци­альных средних.

4. Находятся оценки коэффициентов модели.

5. Осуществляется прогноз на одну точку вперед, находится отклонение фактического значения временного ряда от прогнозируе­мого. Шаги с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех t < n, где п - длина ряда.

6. Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t=n. Прогноз получается на базе выражения (5.52) путем подстановки в него последних значений коэффициентов и времени упреждения t.

К положительным особенностям рассмотренных моделей следу­ет отнести то, что при поступлении новой, свежей информации рас­четы повторять не придется. Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения функций сглаживания S_t⁽ⁱ⁾ и продолжить вычисления.

Дата добавления: 2014-12-08