П3. Определение параметров прямой линии, проведенной через совокупность точек по методу наименьших квадратов

П2. Нахождение дисперсии случайной величины, умноженной на константу

П1. Нахождение дисперсии случайной величины, выраженной функцией

Если случайной величиной является функция y = j(x), то дисперсия D (y) и среднеквадратичный разброс s(y) этой функции будут равны D (y) = ; s(y) = .

В нашем случае j(x) = , где I = S _ППП/ t (S _ППП – площадь ППП, t – время измерения).

Тогда ;

s(I) = ;

.

Если х – случайная величина, а – const, то дисперсия D (ax) = a ²× D (x). В нашем случае e_ППП = . Тогда D (e) = , а s = .

Пусть имеется совокупность m точек с координатами (x_i, y_i), причем значимость каждой точки совокупности одинакова. Через эти точки необходимо провесим прямую линию

y = a + bx.

Для того, чтобы прямая линия как можно ближе соответствовала всей совокупности точек, должно быть выполнено условие минимального отклонения ординаты прямой при данной абсциссе x_i от истинной ординаты y_i или [ y_i –(a + bx_i)] ® 0.

Это условие выполняется для всей совокупности точек, поэтому

.

Полученное выражение не учитывает возможность появления больших отклонений противоположных знаков, сумма которых может быть близка к нулю. Поэтому удобнее пользоваться квадратами отклонений, имеющими только положительные значения. В этом случае обеспечивают минимизацию квадрата отклонений или

.

Для определения минимума этого выражения его дифференцируют по параметрам a и b, а полученные соотношения приравнивают к нулю.

Таким образом, определение параметров прямой линии a и b сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными

.

Решив систему уравнений, получают

; .

Дата добавления: 2014-12-08