Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Связь линейных отображений с матрицами. 1 страница




Пусть дано линейное отображение L линейного пространства V1 в линейное пространство V2. Пусть - базис V1, а - базис V2. Для любого х из V1 имеем:

L L L

Пусть L ,

Тогда L .

Введем матрицу L

3)

Тогда координаты вектора L (х) можно вычислить по формуле:

Определение 13. Матрица, определенная равенством (3), называется матрицей линейного отображения L в базисах ; .

Обратно. Если есть некая матрица:

и два пространства: V1 c базисом и V2 с базисом , то можно задать линейное отображение L формулами:

L ,

L L L L

Замечание. Рангом матрицы называют наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля. Можно показать, что ранг матрицы равен рангу линейного отображения. А именно изменяя базисы в пространствах V1 и V2 мы все сведем к случаю матрицы вида:

,

Где на пустых местах стоят нули. Заметив, что dim{ im L ,b} равна рангу матрицы:

, получим теорему (теорема Крокенера-Капелли): чтобы система:

Имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу матрицы .


§ 4. Композиция линейных отображений.

 

Пусть даны линейные пространства V1, V2, V3 и линейные отображения L1: V1→V2; L2: V2→V3. Рассмотрим отображение L3: V1→V3, определенное формулой: для любого х из V1: L3 L2 ( L1 (х))

Утверждение. L3 – линейное отображение.

Доказательство. Пусть V1, V2 V1 и α, β – любые числа.

L3 L2 ( L1 L2( α L1 L1 α L2(L1 )+β L2(L1 )=α L3 L3

Теорема 4. В обозначениях, введенных выше: dim ker L3 = dim ker L1 +dim(ker L2 im L1)

Доказательство. Пусть а1, …, аr – базис пространства ker L2 im L1 и V1, …, Vr – такие вектора из V1, что L1 1, …, L1 . Пусть e1,…,eS – базис подпространства ker L1. Покажем, что V1, …, Vr, e1,…,eS линейно независимы. Пусть числа таковы, что: .

Применим к этому равенству отображение L1 . Тогда получим:

, и так как а1, …, аr – базис, то . Отсюда:

, и, следовательно, =0. Итак V1, …, Vr, e1,…,eS линейно независимы. Пусть теперь L3. Тогда L2 ( L1 (х))= L3 (х)= . Следовательно, L1 (х) ker L2 im L1. Поэтому существуют такие числа что:

L1 (х)

Рассмотрим вектор . Имеем:

L1 ( )= L1 (х)

Поэтому L1. Отсюда получаем:

.

Окончательно:

То есть V1, …, Vr, e1,…,eS базис ker L3. Так как S =dim ker L1, r =dim(ker L2 im L1), то:

dim ker L3 =dim ker L1 +dim(ker L2 im L1) и теорема доказана.

 

Матрица композиции. Пусть в V1, V2, V3 зафиксированы базисы , , . И в этих базисах отображению L1 соответствует матрица:

А отражению L2 соответствует матрица:

Тогда мы имеем: L3 (ej) = L2 ( L1 (ej))= L2 L2

Из правил умножения матриц следует, что отображению L3 = L2L1 соответствует матрица:

Исследуем теперь, что происходит с матрицей линейного отображения при изменении базиса. Пусть дано линейное пространство V, и в нем два базиса: и . Возьмем произвольный вектор х и рассмотрим его координаты в этих базисах. Найдем, как они связаны. Для этого обозначим IV – тождественное отображение пространства V. То есть:

для любого х из V. Имеем:

Пусть P – матрица отображения в базисах и . По доказанному выше, если , то его координаты в базисе (так как ) находятся по формуле:

Матрица Р называется матрицей перехода от базиса к базису .

Рассмотрим теперь более общую ситуацию:

Пусть Р – матрица перехода от базиса к базису ; Q – матрица перехода от базиса к базису . Далее, пусть L – матрица, соответствующая отображению L в базисах и , а - матрица, соответствующая отображению L в базисах и . По формуле для матрицы композиции линейных отображений имеем:

.

Применив эту формулу к случаю:

,

Получим: , где Еп – единичная матрица. Отсюда . И, следовательно, если Р – матрица перехода от базиса к базису , то матрицей перехода от базиса к базису .будет матрица Р-1.


§ 5. Двойственное пространство и двойственное отображение.

 

Определение 14. Функционалом на линейном пространстве V называется отображение V в множество чисел.

Определение 15. Линейным функционалом на линейном пространстве V называется функционал F со свойством: для любых векторов V и для любых двух чисел α, β:

Введем для линейных функционалов, заданных на линейном пространстве V, структуру пространства следующим образом. Пусть f и g – линейные функционалы. Тогда для любого х из V и любого числа а:

Предложение. f + g и - линейные функционалы.

Доказательство. .

Аналогично доказывается, что α f – линейные функционалы.

Теорема 5. Множество линейных функционалов, заданных на линейном пространстве V, образуют линейное пространство (относительно введенных операций).

Доказательство. Надо проверить 10 равенств, определяющих линейное пространство. Пусть х – любой вектор из V.

1. .

Следовательно, .

2.

Следовательно, .

3. В качестве нулевого элемента возьмем нулевой функционал О*, т.е. функционал, равный 0 для всех векторов из V.

.

Следовательно, .

Аналогично проверяются оставшиеся равенства.

Определение 16. Введенное выше линейное пространство называется двойственным к линейному пространству V и обозначается V*.

Определение 17. Пусть в линейном пространстве V выбран базис . «Двойственным базисом» называется система функционалов из V* со свойством:

Заметим, что определение корректно, так как линейное отображение полностью определено своими значениями на векторах базиса, а сами эти значения могут заданы произвольно.

Теорема 6. «Двойственный базис» является базисом линейного пространства V*.

Доказательство. Пусть - базис в линейном пространстве V, и - «двойственный базис». Пусть:

.

Тогда для любого i:

. Следовательно, и линейно независимы. Пусть f - некоторый линейный функционал из V*, и пусть:

.

Рассмотрим линейный функционал:

.

Для любого х из V имеем: .

.

Следовательно, . И мы получаем , что и доказывает теорему.

Определение 18. Пусть дано линейное отображение L: V1→V2 линейных пространств V1 и V2. Двойственным отображением называется отображение L*: V1*→V2* двойственных пространств, определенное формулой: L* (L (x)), где .

Предложение. L* - линейное отображение.

Доказательство. Пусть α, β – произвольные числа, х – произвольный вектор из V1, f и g – функционалы из V2*.

.

Предложение доказано.

Предложение. Матрица двойственного отображения в двойственных базисах является транспонированной матрицей соответствующего линейного отображения.

Доказательство. Пусть:

L: V1→V2

L*: V1*→V2*

Зафиксируем в V1 базис , и в V2 базис . Пусть и - двойственные базисы. L – матрица отображения L:

.

Тогда:

L

L* L

Пусть L* .

L* .

Следовательно, и L* .

Тогда матрица L*, соответствующая отображению L*, имеет вид:

.

Предложение доказано.

Теорема 7. rang L =rang L*.

Доказательство. Пусть:

L: V1→V2

L*: V2*→V1*

.

- базис пространства V1. Пусть rang L = . Это означает, что среди векторов L 1),… L п)S линейно независимых. Пронумеровав их, будем считать, что это вектора L 1),… L S). Далее имеем:

(a)

Дополним совокупность векторов до базиса пространства V2: L 1),… L S), . Рассмотрим двойственный базис:

L 1)*,… L S)*, . Пусть тогда i=1…S

L* L

Рассмотрим:

Тогда для любого j:

.

Следовательно, - нулевое отображение, и:

Итак, L* 1)*,… L* т-S)* выражаются через L *(L 1)*),… L *(L S)*).

Покажем, что последние линейно независимы. Пусть:

Тогда:

Следовательно, . Поэтому элементы L *(L 1)*),… L *(L S)*) линейно независимы. Таким образом:

.

Что и требовалось доказать.


Задачи к § 3, § 4, § 5.

1. Пусть в пространстве задано отображение: .

А) доказать, что оно линейно.

Б) найти его матрицу в базисе:

.

2. Определить, какие из ниже перечисленных отображений являются линейными и найти ядра этих отображений.

А)

Б)

В)

Г)

3. Даны 3 линейных отображения, переводящие заданные 3 вектора в заданные:

и

Найти композицию L = L2L1 этих отображений и матрицу этой композиции в базисе .

4. Линейное отображение L имеет в базисе матрицу:

Найти матрицу этого преобразования в базисах:

А)

Б)

5. Линейное преобразование L в базисе имеет матрицу:

Найти его матрицу в базисе .

6. Существует ли линейное преобразование L, переводящее:

И если существует, то найти. Каким может быть его ранг.

7. Найти ранг линейного отображения L , заданного формулой:

8. Найти ранг линейного отображения L , заданного формулой:

L

9. Существует ли линейное отображение со свойством: где , , , , ; , ; , , .

10. Существует ли линейное отображение со свойством:

где , , , , , ; , , , , ; ; и если существует, то найти его ранг.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 1312; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.