Сравнение бесконечно малых

Определение 1.4.1. Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если предел ее в этой точке равен нулю, то есть .

Справедливо следующее утверждение:

Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке , как и произведение бесконечно малой и ограниченной функций, являются бесконечно малыми функциями в точке .

При вычислении пределов ряда функций полезно использовать замену бесконечно малой функции на эквивалентную ей.

Определение 1.4.2. Пусть и , а . Тогда a(х) и b(х) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями (обозначается a(х) ~ b(х)).

Таблица основных эквивалентных бесконечно малых функций при х® 0:

sin x ~ x arcsin x ~ x

tg x ~ x arctg x ~ x

(1+x)^a –1 ~ ax

e^x – 1 ~ x ln (1+x) ~ x

Пример 1. Вычислить предел .

Решение: Имеем .

Поэтому:

Заметим, что, если у нас есть сумма или разность бесконечно малых функций, то для применения этого правила иногда можно преобразовать данные выражения в произведение.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение: .

Дата добавления: 2014-12-08