Вопросы к экзамену

Раздел I. Линейная алгебра.

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.

3. Определители 2-ого и 3-его порядка, их вычисление. Основные свойства определителей.

4. Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.

6. Решение, множество решений СЛУ. Совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.

7. Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.

8. Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).

9. Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.

10. Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ.

11. Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

12. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.

13. Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений.

Раздел II. Векторная алгебра.

14. Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор.

15. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис плоскости ; базис пространства . Координаты вектора.

16. Понятие декартовой системы координат в . Радиус-вектор, координаты точки. Вычисление длины и направляющих косинусов вектора; координат вектора, заданного двумя точками; расстояния между точками.

17. Преобразования прямоугольных декартовых систем координат на плоскости (параллельный перенос, поворот). Связь между собой координат произвольной точки в старой и новой системах координат.

18. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.

19. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.

20. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.

Раздел III. Аналитическая геометрия.

21. Понятие линии на плоскости. Общее уравнение линии и его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Окружность и её уравнение.

22. Прямая линия на плоскости и её общее уравнение. Нормальный и направляющий векторы прямой. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение прямой.

23. Каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости и его вычисление, условия и ½½ прямых.

24. Понятие поверхности. Общее уравнение поверхности, его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Сфера и её уравнение.

25. Плоскость и её общее уравнение. Нормальный вектор плоскости и его нахождение. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение плоскости.

26. Уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями и его вычисление, условия и ½½ плоскостей.

27. Понятие линии в пространстве и её общее уравнение. Понятие прямой линии в пространстве и её общее уравнение. Направляющий вектор прямой и его нахождение.

28. Каноническое уравнение прямой в пространстве; уравнение прямой, проходящей через две точки; параметрические уравнения прямой. Приведение общего уравнения к каноническому.

29. Угол между двумя прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью и их вычисление, условия и ½½ двух прямых, прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

30. Кривая 2-ого порядка на плоскости и её общее уравнение. Классификация кривых 2-ого порядка. Приведение уравнения кривых к каноническому виду.

31. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Построение эллипса. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, общее геометрическое свойство точек эллипса.

32. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты, общее геометрическое свойство точек гиперболы.

33. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Построение параболы. Вершина, фокус, эксцентриситет, директриса, общее геометрическое свойство точек параболы.

34. Сфера. Эллипсоид. Канонические уравнения и графики.

35. Гиперболоиды (однополостной и двуполостной). Канонические уравнения и графики.

36. Параболоиды (эллиптический и гиперболический). Канонические уравнения и графики.

37. Цилиндры (эллиптический, гиперболический, параболический), их уравнения и графики.

Раздел IV. Введение в анализ.

38. Понятие множества. Подмножество. Универсальное множество. Способы задания множеств. Равенство и эквивалентность множеств.

39. Пересечение, объединение и разность множеств. Дополнение множества. Множества чисел.

40. Модуль действительного числа и его свойства.

41. Числовые промежутки. Окрестность конечной точки и бесконечности.

42. Понятие функции. Основные способы задания функции. Естественная область определения функции. Явная, неявная и параметрическая формы аналитического задания функции. График функции.

43. Основные элементы поведения функции (чётность, нечётность, периодичность, ограниченность, монотонность).

44. Основные элементарные функции (степенные: , , , , ; тригонометрические: , , , ; обратные тригонометрические: , , , ; показательная , логарифмическая ), их свойства и графики.

45. Понятие обратной и сложной функций. Элементарные функции, их классификация. Преобразование графиков элементарных функций.

46. Понятие предела функции в конечной точке и на бесконечности, их геометрический смысл. Односторонние пределы. Условия существования предела функции в конечной точке.

47. Бесконечно малые и большие функции, их основные свойства и взаимосвязь. Примеры бесконечно малых и больших функций.

48. Функции, ограниченные при . Взаимосвязь между функциями, имеющими предел и ограниченными при .

49. Основные теоремы о пределах функций (о пределе постоянной, суммы, разности, произведения и частного функций; о пределе сложной и элементарной функций). Предельный переход в неравенствах.

50. Первый и второй замечательные пределы, их следствия и применение при вычислении пределов.

51. Эквивалентные бесконечно малые функции, их основные свойства и применение при вычислении пределов.

52. Определения непрерывности функции в точке. Понятие непрерывности справа и слева. Условия непрерывности функции в точке. Арифметические операции над непрерывными функциями.

53. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Условие существования непрерывной обратной функции.

54. Понятие непрерывности на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке (об ограниченности функции, об обращении функции в нуль, о наибольшем и наименьшем значениях функции).

55. Точки разрыва функции, их классификация и нахождение.

Раздел V. Комплексные числа. Алгебра многочленов.

56. Комплексное число, его изображение на плоскости. Комплексно-сопряжённое число. Модуль и аргумент комплексного числа. Различные формы записи комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая, показательная). Формула Эйлера.

57. Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

58. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

59. Понятие многочлена, алгебраического уравнения. Основная теорема алгебры и теорема Безу. Разложение многочлена на множители. Нахождение корней квадратного уравнения.

Дата добавления: 2014-12-08