КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Властивості векторного добуткуВекторний добуток векторів Означення векторного добутку. Векторним добутком двох неколінеарних векторів і називається вектор , такий, що: 1) і , тобто перпендикулярний векторам і ; 2) направлений так, що вектори , , утворюють праву трійку; 3) має довжину, що дорівнює добутку довжин цих векторів на синус кута між ними, тобто , де . Якщо вектори і колінеарні, то їх векторний добуток за означенням вважається рівним нульовому вектору. Векторний добуток позначається . Геометричний зміст векторного добутку. Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах (рис. 6.1). 1. . Справедливість цієї властивості випливає з означення. 2. . Доведення. Нехай . Вектор перпендикулярний векторам і (вектори і лежать в одній площині). Вектор також перпендикулярний векторам і . Отже, вектори і колінеарні. Очевидно, що їх напрямки співпадають. Вони мають однакову довжину: і . Тому . Аналогічно доведення при . 3. . Приймемо без доведення. 4. Два ненульові вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли їх векторний добуток рівний нульовому вектору, тобто . Доведення. Якщо , то вектор за означенням. Якщо , то . Тоді або , тобто . Приклад 6.8. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах і , якщо , , , , . Розв’язок. Використовуючи властивості векторного добутку, отримаємо
. Тоді за означенням . t Векторний добуток в координатній формі. Нехай в декартовій прямокутній системі координат задані вектори , або, що те ж саме, , . Знайдемо векторний добуток цих векторів, перемноживши їх згідно властивостям 1–3: . (6.11) Векторні добутки , , , що входять в цю рівність, рівні нульовому вектору згідно властивості 4. Векторний добуток є вектором, модуль якого рівний і колінеарний та однаково направлений з вектором , а отже . Аналогічно , (рис. 6.2). Згідно властивості 1 , , . Підставивши знайдені добутки в (6.11), отримаємо . Цю рівність символічно можна записати у вигляді . (6.12) Приклад 6.9. Знайти , якщо , . Розв’язок. Згідно (6.12) отримаємо . t Приклад 6.10. Знайти площу трикутника , якщо , , . Розв’язок. Очевидно (рис. 6.2), що . Так як , , то , . Отже, . t
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1662; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |