Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Степенные ряды




Ряд

1 + 1/2р + 1/3р +..... + 1/пр +......

 

называемый гармоническим, сходится (расходится) если р> 1 (р ≤ 1).

 

Сравнение рядов.

 

Пусть даны два знакоположительных ряда. Предположим, что каждый член одного из них не превосходит соответствующего члена другого.

 

 

ТЕОРЕМА (признак сравнения):

 

Если сходится ряд с большими членами, то и ряд с меньшими членами сходится.

Если расходится ряд с меньшими членами, то и ряд с большими членами расходится.

 

Теорема позволяет исследовать сходимость некоторых рядов, «сравнивая» их с рядами, с сходимости или расходимости которых уже известно.

Пример.

Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который сходится (р = 2 > 1): 1/ (1 + п2) <1 / п2 данный ряд сходится.

Признак Лейбница.

 

Ряд а1 – а2 + а3 –а4 +...+ (-1)п+1 ап +......, где все числа а1, а2, а3,

......., ап,..... положительны, называются знакочередующимся..

 

ТЕОРЕМА (признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда):

 

Если абсолютная величина общего члена ап стремится к нулю и монотонно убывает, то ряд сходится.

 

Пример. Исследовать сходимость ряда

1 – ½ + 1/3 – ¼ +.....+ (-1)п+1/п +.....

Решение. Ап = 1/п монотонно убывает с ростом п и (1/п) = 0 ряд сходится.

 

 

Оценка погрешности приближенного вычисления

суммы знакочередующегося ряда.

 

Сумма всякого сходящегося ряда можно приближенно с любой степенью точности вычислить, заменив ее частичной суммой с достаточной большим номером (S ≈ Sп). При этом возникает вопрос об оценке погрешности.

Для ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, справедливо утверждение:

 

Погрешность меньше абсолютной величины первого отброшенного члена.

 

(| S – S | < ап+1).

Пример. Для ряда, сходимость которого установлена в предыдущем пункте, найти сумму с точностью до 0,1,.

Решение:

S = 1 – ½ + 1/3 –..... + 1/9 – 1/10 +.....≈ 1 – ½ + 1/3 –.....+ 1/9 ≈ 1 – 0,5 + 0,333 – 0,25 + 0,2 – 0,167 + 0,143 – 0,125 + 0,111 ≈ 0,7.

 

Область сходимости функционального ряда.

Ряд f1 (х) + f2 (х) + f3 (х) +.......+ fп (х) +....., членами которого являются функции, называется функциональным.

Если вместо переменной х подставить какое-либо конкретное значение, то все функции fп (х) примут определенные числовые значения и ряд превратится в числовой. Подставляя вместо х разные числа, получим разные числовые ряды. Часть из них будут сходящимися, другие – расходящимися. Отсюда получаем определение: множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд получается сходящиеся числовые ряды, называется его областью сходимости.

Получающиеся при различных значениях х, взятых из области сходимости, числовые ряды будут различными и, значит, будут иметь различные суммы. Таким образом, сумма функционального ряда есть функция от х.

 

 

Степенной ряд.

 

Функциональный ряд вида а0 + а1х + а2х2 + а3х3 +....+ апхп + ап+1 хп+1 +.

называется степенным.

 

0, а1, а2,........, ап, .......... – постоянные коэффициенты).

Число R = пп+1 |

называется радиусом сходимости.

 

ТЕОРЕМА. Область сходимости степенного ряда состоит из интервала сходимости, -R < x < R и, может быть, одного или обоих его концов.

Пример на отыскание области сходимости см. в разделе «Образец решения контрольной работы», задача 1.26.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 374; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.