КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Решите самостоятельно следующие задачи
15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. ЗАДАНИЕ №16 Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например:
Пример 1. Вычислить определенный интеграл
Решение: Определенный интеграл от любой непрерывный функции f(x) вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница где F(x) – первообразная для f(x).
Геометрически определенный интеграл представляет собой при площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ox и прямыми x=a и x=b. Проинтегрируем сначала соответствующий неопределенный интеграл по частям, положив u=x, dv=sin x dx.
И по формуле Ньютона-Лейбница получим:
Пример 2. Найти
Решение: Находя первообразную с помощью замены переменной при вычислении определенного интеграла, не следует забывать, что, изменив переменную, придется изменить и ее пределы интегрирования. Обозначим , тогда , , но при x=0, t=0, а при x=4, t=2. Следовательно, в новом интеграле, относительно переменной t изменяются пределы интегрирования: но так как dt=d(t+1)
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
Площадь фигуры типа для которой , то есть, для правильной в направлении оси фигуры на рисунке находятся по формуле
Для фигуры, правильной относительно оси на рисунке, то есть фигуры, которая ограничена площадь находится по формуле
Решение: Решая совместно систему уравнений найдем абсциссы точек пересечения наших кривых следовательно, пределы интегрирования будут равны a=-1, b=0. Поскольку наша фигура является правильной, как относительно , так и относительно , можно считать ее площадь по первой и по второй формуле. Будем считать по первой. Тогда
Подробнее об определённых интегралах можно прочесть в [1] гл.XIII, [4] гл.11 и найти похожие задачи в [3] гл.10 Самостоятельно решите следующие задачи: Вычислить:
ЗАДАНИЕ №17 Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов. Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях: 1) отрезок интегрирования [a,b] конечен 2) подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна При таких предположениях интеграл называется собственным интегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется несобственным интегралом.
Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Пусть функция f(x) в промежутке непрерывна. Интегралом от f(x) в пределах между называется предел интеграла, взятого от , т.е.
Это несобственный интеграл. Если конечный предел в правой части существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x) - интегрируемой на . Если этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся. Интеграл для любого a.
Пример 1. Вычислить
а) p¹1
Решение: Найдем неопределённый интеграл Итак, предел существует, значит, несобственный интеграл I сходится и равен Интеграл 2-го рода. Если в интеграле функция f(x) неограниченно возрастает, то есть когда x приближается к одному из пределов интегрирования. Когда это происходит при x®a, то . Если подынтегральная функция перестаёт быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например в точке с то эту точку вырезают:
Пример 3. Вычислим
Решение: Когда x®2 подынтегральная функция . Точка x=2 особая. То есть интеграл расходящийся.
Подробнее с несобственными интегралами можно ознакомиться в[1]гл.XIV, [4] гл.11 и найти задачи на эту тему в [3] гл.10 Решите самостоятельно следующие задачи. Вычислить интегралы:
ЗАДАНИЕ №18 Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона.
Дата добавления: 2014-12-10; Просмотров: 452; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |