Уточнение модели проектируемого объекта 2 страница

Видно, что средняя температура как воздуха, так и подстилающей поверхности заметно увеличивается (изменение глобальной температуры на 1-2° С считается значительным), растет и среднее число осадков. Эксперимент также хорошо демонстрирует нелинейность объекта. Увеличение средней температуры при переходе от удвоенного к учетверенному содержанию СОз намного меньше, чем при удвоении современной концентрации. Отклик системы «атмосфера—океан» на внешнее (в данном случае антропогенное) воздействие не пропорционален величине этого воздействия (в рассматриваемой ситуации система смягчает последствия увеличения индустриальной активности человека).

Прогноз климатических последствий ядерного конфликта

Сравнение с натурным экспериментом и получение исходных данных для вычислительного эксперимента.

Опыт огромных пожаров вследствие массированных бомбардировок крупных городов во время Второй мировой войны свидетельствует о следующем. Интенсивность пожаров такова, что в огне сгорают не только легковоспламеняющиеся материалы (дерево, пластмассы), но и негорючие в обычных условиях асфальт, бетон, кирпич. В отличие от относительно чистого горения лесов, мощные городские пожары будут сопровождаться выбросом в атмосферу огромного количества сажи – по некоторым оценкам, примерно по 1 т сажи на 1 т тротилового эквивалента заряда. Это значит, что ядерная атака городов с суммарной мощностью 100 Мт (примерно 1% от общего боезапаса ядерных держав) приведет к немедленному попаданию в атмосферу 10⁸ т сажи.

4. Анализ результатов вычислительного эксперимента.

Такая степень «задымления» в несколько десятков раз уменьшит поток солнечного света у подстилающей поверхности. Вычислительные эксперименты имитировали именно этот сценарий: в моделях мгновенно изменялись соответствующие характеристики атмосферы над наиболее вероятными районами возможного конфликта и прослеживалась временная динамика климатических величин.

Главным эффектом является быстрое и исключительно сильное охлаждение воздуха над континентами: даже в случае использования всего 1% имеющегося в наличии боезапаса средняя температура у подстилающей поверхности через неделю упадет на 15°С. Средняя температура более высоких слоев атмосферы, наоборот, увеличится примерно на такую же величину (поскольку в них поглощается вся солнечная радиация). Образующаяся температурная инверсия чрезвычайно стабильна («холодное» – внизу, «теплое» – вверху) и сохранится в течение многих месяцев.

Построены изолинии температуры воздуха у поверхности Земли на 30-40 день после «100-мегатонного конфликта». Температура упадет ниже нормы на 56° С на севере Европы, на 65° С на севере Сибири, на 43° С в Северной Америке и на 41°С на юге Азии и т. д. На высоте горных ледников температура станет намного выше нормальной, что приведет к бурным паводкам. Огромные массы воды, попав на переохлажденные равнины, покроют их ледяной коркой. Океан из-за своей большой теплоемкости будет остывать гораздо медленнее, и контраст температур между водой и сушей породит невиданной силы ураганы в прибрежных районах.

Выводы.

Ранее считалось, что основными поражающими факторами ядерного оружия являются проникающая радиация и ударные волны. Математическое моделирование свидетельствует: помимо этих (относительно локальных) факторов ядерный конфликт будет сопровождаться глобальными катастрофическими изменениями климата, и поэтому он неприемлем даже в ограниченном варианте. Подобное развитие событий - глобальная климатическая катастрофа.

5 ВИДЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

5.1 Классификация математических моделей

Появление большого количества моделей самого различного типа привело к необходимости упорядочивания, классификации моделей, что является одним из условий грамотного применения моделей. Классификация необходима для ответа на вопросы: Какого вида модель более всего подходит для решения поставленной задачи? К какому классу относится разрабатываемая модель и в чем особенности ее использования?

Единая классификация видов модели затруднительна в силу многозначности понятия "модель" в науке и технике. Ее можно проводить по различным основаниям:

- по характеру моделей (т.е. по средствам моделирования);

- по характеру моделируемых объектов;

- по сферам приложения модели (модели в технике, в физических науках, в химии, экономике, модели процессов живого, модели психики и т. п.) и его уровням ("глубине"), начиная, например, с выделения в физике модели на микроуровне (модели на уровнях исследования, касающихся элементарных частиц, атомов, молекул).

В связи с этим любая классификация методов моделирования обречена на неполноту, тем более, что терминология в этой области опирается не столько на "строгие" правила, сколько на языковые, научные и практические традиции, а еще чаще определяется в рамках конкретного контекста и вне его никакого стандартного значения не имеет (типичный пример - термин "кибернетическое" моделирование).

Первой системой математических моделей, адекватно отражающих обширный класс процессов и явлений реального мира, стала классическая механика. Одной из основных задач классической механики была задача прогнозирования движения различных тел и сред. Любая модель механического движения представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно координат и скоростей движущегося объекта – из необходимости моделирования и прогнозирования движения возникло дифференцмальное исчисление.

Большое количество классификационных признаков породило много классификаций моделей, которые характеризуют их свойства, особенности применения, происхождения. Классификация моделей – это тоже элементарное моделирование.

При таком подходе выбор класса модели (классификация) является неотъемлемой частью построения модели - выбор класса модели можно рассматривать как выбор структуры модели - с позиций структурного моделирования.

Ниже приведена одна из возможных классификаций.

Признаки классификации	Виды математических моделей
1. Принадлежность к иерархическому уровню	Модели микроуровня Модели макроуровня Модели метауровня
2. Характер взаимоотношений со средой	Открытые непрерывный обмен) Закрытые (слабая связь)
3. Характер отображаемых свойств объекта	Структурные Функциональные
4. Способ представления свойств объекта	Аналитические Алгоритмические Имитационные
5. Способ получения модели	Теоретические Эмпирические
6. Причинная обусловленность	Детерминированные Вероятностные
7. По отношению к времени	Динамические Статические
8. По типу уравнений	Линейные Нелинейные
9. По множеству значений переменных	Непрерывные Дискретные Дискретно-непрерывные
10. По назначению	Технические Экономические Социальные и т.д.

Информационная модель - совокупность информации, характеризующая существенные свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. В качестве информационной модели могут служить наглядные изображения (фото, кино, видео), знаки (текст, знаковое табло), графические модели (график, чертеж, блок–схема) и комбинированные изображения (мнемосхема, карта). Э то модели, созданные на естественном языке и формальном языке (т.е. научном, профессиональном или специализированном). Примеры формальных моделей: все виды формул, таблицы, графы, карты, схемы и т.д.

Математическая модель - это математическое представление реальности: система математических соотношений, описывающих процесс или явление. В основу классификации математических моделей могут быть положены различные принципы отображения объекта - классификационные признаки, отражающие те или иные особенности моделируемой системы (или их сочетания).

Возможные классификационные признаки моделей: в зависимости от целей моделирования, в зависимости от способа получения моделей, в зависимости от оператора модели, в зависимости от параметров модели, в зависимости от методов реализации.

По уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

Эмпирическая — на основе эмпирических фактов, зависимостей;

Теоретическая — на основе математических описаний;

Смешанная или полуэмпирическая — использующая эмпирические зависимости и математические описания.

B зависимости от характера изучаемых процессов в системе все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т.e. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события.

Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, a динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, a дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделять наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Математическое моделирование включает в себя аналитическое, имитационное и комбинированное.

Аналитическое моделирование основывается на косвенном описании реального объекта с помощью набора математических выражений, которые образуют аналитическую модель. Компьютер при аналитическом моделировании используется в качестве вычислителя.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования исследуемой системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта, используя структурное подобие объекта и модели, т.е. каждому существенному, с точки зрения решаемой задачи, элементу объекта ставится в соответствие элемент модели.

В основу классификации математических моделей могут быть положены различные принципы отображения объекта - классификационные признаки, отражающие те или иные особенности моделируемой системы (или их сочетания).

Возможные классификационные признаки моделей: в зависимости от целей моделирования, в зависимости от способа получения моделей, в зависимости от оператора модели, в зависимости от параметров модели, в зависимости от методов реализации. При этом исследуемая система и ее модель могут относиться как к одному, так и к разным классам. Например, реальная система может быть подвержена воздействию случайных факторов и, соответственно, будет относиться к классу стохастических систем. Если разработчик модели считает, что влиянием этих факторов можно пренебречь, то создаваемая модель будет представлять собой детерминированную систему. Аналогичным образом возможно отображение системы с непрерывным временем смены состояний в модель с дискретными переходами и т. д.

Классификация в зависимости от целей моделирования.

Любая система может представляться некоторым набором, отличающихся друг от друга, моделей. Отличия могут содержаться в степени детализации и учёте различных особенностей режимов функционирования. Могут отражаться некоторые грани сущности системы, можно ориентироваться на анализ некоторых наборов свойств. Поэтому разработке модели, естественно, предшествует постановка (формулировка) цели моделирования. По классификационному признаку:

- «установление законов изменения параметров модели» - описательные модели;

- «изучение преобразования объектом входных сигналов» - функциональные модели;

- «изучение внутренней структуры объекта» - структурные модели;

- «определение оптимальных параметров объекта или режима управления объектом» - оптимизационные модели;

- «принятие эффективных управленческих решений»- управленческие модели.

Описательные модели являются реализацией содержательных и концептуальных моделей – позволяют определять параметры модели в зависимости от принятых условий и гипотез.

Функциональные модели отражают происходящие физические, механические, химические, информационные и др. процессы. Комбинированные структурно-функциональные модели отражают устройство и функционирование объекта.

Структурные модели – отражают устройство объекта и связи (в том числе типы связей) между его элементами.

В структурной модели можно выделить два типа - топологическую и геометрическую модели.

Топологическая модель отражает состав объекта и связи между его элементами. Такая модель обычно строится на основании структурной схемы и имеет форму графов, таблиц, матриц, списков.

Возможные типы связей: в материаловедении – типы кристаллических решеток и их симметричность, в информационных системах – направление и интенсивность передачи информации, организационных системах – иерархия в процессе принятия решений и распределение ответственности за решения.

Геометрическая модель в дополнение к топологической содержит сведения о форме и размерах объекта и его элементах, об их взаимном расположении.

По отношению к размерности пространства модели могут быть одномерными, двумерными, трехмерными. В геометрическую математическую модель обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей, а также соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу или элементу.

Оптимизационные модели содержат свободные параметры или функции (оптимизируемые параметры, параметры режимов управления), управление ними (их изменение) выбирается из условия достижения системой заданной цели - заданного критерия (критериев) эффективности выполнения системой своих задач.

В оптимизационных можно выделить управленческие модели. Из управленческих моделей можно выделить кибернетические модели – имеется несколько субъектов управления, обладающих собственными целями (модели используются для разрешения конфликтных ситуаций).

Одним из классификационных признаков моделируемой системы является мощность множества состояний моделируемой системы. По этому признаку системы делят на статические и динамические. Система называется статической, если множество ее состояний содержит один элемент. Если состояний больше одного, или они могут изменяться во времени, система называется динамической. Процесс смены состояний называется движением системы.

Различают два основных типа динамических систем: с дискретным (множество состояний конечно или счетно) или с непрерывным множеством состояний.

В детерминированных системах новое состояние зависит только от времени и текущего состояния системы. Другими словами, если имеются условия, определяющие переход системы в новое состояние, то для детерминированной системы можно однозначно указать, в какое именно состояние она перейдет.

Для стохастической системы можно указать лишь множество возможных состояний перехода и, в некоторых случаях, - вероятностные характеристики перехода в каждое из этих состояний.

Схема классификации систем важна не сама по себе. На этапе разработки концептуальной модели она, во-первых, позволяет уточнить цели и задачи моделирования и, во-вторых, облегчает переход к этапу формализации модели. Кроме того, на этапе оценки качества разработанной модели, знание классификационных признаков дает возможность оценить степень ее соответствия первоначальному замыслу разработчика.

Исследуемая система и ее модель могут относиться как к одному классу, так и к разным классам. Например, реальная система может быть подвержена воздействию случайных факторов и, соответственно, будет относиться к классу стохастических систем. Если разработчик модели считает, что влиянием этих факторов можно пренебречь, то создаваемая модель будет представлять собой детерминированную систему. Аналогичным образом возможно отображение системы с непрерывным временем смены состояний в модель с дискретными переходами и т. д.

Классификация в зависимости отспособа получения моделей

В зависимости от способа получения выделяются теоретические и эмпирические модели.

Теоретические модели получают в результате изучения свойств систем, явлений, процессов, эмпирические модели являются итогом обработки результатов наблюдений внешних проявлений этих свойств и процессов.

Среди теоретических моделей можно выделить три группы моделей – феноменологические, асимптотические и модели ансамблей.

Феноменологические модели - построенные по результатам прямого наблюдения объекта, явления, его осмысливания.

Асимптотические модели - построенные в результате процесса дедукции, как частный случай более общей модели.

Модели ансамблей - построенные в результате обобщения (синтеза) отдельных моделей (процесс индукции).

Такие модели не могут быть получены путем механического объединения моделей отдельных объектов в модель системы, поскольку внутренние свойства системы при объединении объектов могут изменяться (например, в социально-экономических системах). Свойство каждого объекта исследуются с учётом взаимодействия его с другими объектами системы.

Классификация в зависимости отпараметров модели

По классификационному признаку:

- «состав параметров» - дискретные, непрерывные, качественные, количественные, смешанные модели;

- «вид используемой информации» - детерминированные (каждому параметру соответствует конкретное число или функция) или неопределенные (стохастические - значения всех или некоторых параметров определяются случайными величинами, нечеткие - значения всех или некоторых параметров описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству, случайные, нечеткие) модели;

- по отношению ко времени – статические и динамические (стационарные и нестационарные):

- по отношению к размерности пространства – одномерные, двухмерные, трехмерные.

Классификация в зависимости отметодов реализации модели.

По квалификационному признаку «вид выходных зависимостей» - аналитические (алгебраические и приближенные) и алгоритмические (численные и имитационные) модели.

В аналитических моделях устанавливаются формульные, аналитические зависимости между параметрами системы. Для описания этих зависимостей разработан язык алгебраических, дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В терминах аналитических моделей поставлены и решены достаточно простые управленческие задачи, в основном планирования на макроинтервалах времени. Эти модели можно получить, например, в рамках математического программирования (линейное, целочисленное, нелинейное, динамическое, стохастическое) и теории массового обслуживания.

Для задач, требующих учета большого количества факторов, в том числе и случайных или нечётких (неопределённых), разработаны методы имитационного и нечёткого моделирования.

Аналитические модели за счет огрубления действительности позволяют сосредоточить внимание на существе явления, его основных закономерностях, а уточнение и конкретизация решений выполняется на статистических моделях.

Пример представления модели различной сложности и классификации.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (F = − kx) после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

где означает вторую производную от x по времени: .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминированная, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе ее построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т.д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, упрощенная, поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, рассеяние энергии за счет трения). В некотором приближении (пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

При уточнении модели сложность ее математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Модель гармонического осциллятора можно применять к объектам, далеким от механики - ее содержательный статус может быть другим (например, при приложении этой модели к биологическим популяциям).

Жесткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор — пример так называемой «жесткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о ее применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жесткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь — некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, — некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, результатом решения уравнения гармонического осциллятора могут быть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

5.2 Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели

Любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор – алгоритм или совокупность уравнений. Наиболее распространенный в математическом моделировании вид оператора – функция (элементы измеряются в числовых шкалах). В этом случае задается отношение на множестве элементов в виде числовой функции многих переменных f: R ⁿ→ R, где n - мерный вектор переменных системы x = (x ₁, x ₂,…, x _n), характеризующий ее поведение, R - вещественная ось.

Конкретное задание функции связано с построением математической модели системы – на выбор функции накладываются ограничения, вытекающие из содержательной постановки задачи.

Построить функциональную зависимость, адекватно описывающую поведение сложной системы сложно, а чаще практически невозможно – устанавливаются функциональные зависимости между отдельными элементами системы. Но и в этом случае возникают сложности, связанные с недостатком информации о характере и механизмах взаимодействия между элементами системы (необходим итеративный подход). В этом случае оператор представляет систему уравнений.

Часто внутренними переменными системы являются не числа, а функции, тогда выходными параметрами могут выступать также функции или функционалы.

Классификационный признак при классификации в зависимости от оператора:

- «вид зависимости выходных параметров от значений входных параметров» - линейные или нелинейные модели;

- «вид функциональной зависимости» - алгебраические, дифференциальные (обыкновенные, в частных производных), интегродифференциальные и др. уравнения или системы уравнений.

Линейные и нелинейные модели

Линейность или нелинейность анализируемого процесса оказывает решающее влияние на вид модели, метод программирования и быстродействие программы при ее выполнении на ЭВМ.

Линейная модель - оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров от входных - линейное соотношение (прямая пропорциональная зависимость) между двумя числовыми переменными. Использование такой зависимости позволяет описывать многие процессы в реальных системах (это и закон Ньютона и закон Гука в механике, и закон Ома в электротехнике).

Использование такой зависимости позволяет описывать многие процессы в реальных системах (это и закон Ньютона в механике, и закон Ома в электротехнике). В линейной модели множества входов X, состояний Z и выходов Y – линейные пространства, операторы переходов входов в состояния α и состояний в выходы β – линейные операторы (одновременно однородны и аддитивны).

В линейной модели объекта его параметры связаны линейно. Это означает, что при изменении какого-либо параметра линейное соотношение модели предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, при изменении двух и более параметров - сложение их влияний, линейная модель обладает свойством суперпозиции.

Мир линейных функций утомительно однообразен: стоит изучить лишь одну линейную функцию, как вы знаете все наиболее существенное о всех линейных функциях. Не приносит каких-либо неожиданностей и переход к большему числу измерений. Геометрический образ линейной функции, каков бы ни был ее физический смысл, в зависимости от числа независимых переменных — прямая, плоскость или гиперплоскость. На одинаковые приращения независимой переменной линейная функция беспристрастно (то есть независимо от значения независимой переменной) откликается одинаковыми приращениями. Это означает, что линейная зависимость не обладает избирательностью. Она не может описывать ни резонансных всплесков, ни насыщения, ни колебаний — ничего, кроме равномерного неуклонного роста или столь же равномерного и столь же неуклонного убывания.

Благодаря быстродействию и простоте линейные модели широко применяются разработчиками, хотя большинство природных и промышленных процессов – нелинейно.

В более общем случае, если не учитывается воздействие случайных факторов, а малые изменения входных воздействий приводят к такого же порядка малым изменениям выходного воздействия и состояниям системы, модель можно представить в виде векторного дифференциального уравнения d y /d t = F (x (t), v (t), g (t) t), где F – вектор-функция закона функционирования системы; – x, v, h, y - векторы входных, внутренних, управляющих и выходных воздействий соответственно.

Дата добавления: 2014-11-29