Формула Стокса

Упражнения

Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностные интегралы в интегралы по объему:

39. .

40. .

41.

С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить следующие интегралы:

42.

43.

44.

45. Найти дивергенцию вектора .

46. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностный интеграл

в интеграл по объему.

47. Вычислить поверхностный интеграл , где Ф – полная поверхность параболоида z=x²+y², ограниченного плоскостью z= 1.

48. Пользуясь формулой Остроградского–Гаусса, вычислить поверхностные интегралы по внешней стороне поверхности Ф (если поверхность не замкнутая, дополните её до замкнутой).

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) (a>0), x =0, y= 0, z= 0;

е) ;

ж) .

Пусть в области G определено векторное поле L – замкнутый контур, лежащий в области G; Ф - произвольная поверхность, границей которой является контур L; Ф Ì G (говорят "поверхность Ф натянута на контур L "); –единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности Ф.

Поверхность Ф называется xyz – проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz. Такую поверхность можно задать с помощью любого из уравнений: z=z(x,y), (x,y) Î G₁; x=x(y,z), (y,z) Î G₂; y=y(z,x), (z,x) Î G₃.

Пусть Ф – гладкая xyz – проектируемая ориентированная поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром L и расположенная внутри области G, в которой функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеет непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса

где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля вдоль контура L, а правая часть представляет собой поток через поверх

ность Ф векторного поля с координатами

Эта формула названа по имени английского физика и математика Д. Стокса. Её формулу можно переписать также в следующем виде:

Формула Стокса остается верной для иной ориентированной поверхности Ф с кусочно-гладким краем L, которую можно разбить при помощи кусочно-гладких линий на конечное число гладких кусков, проецирующихся на все три плоскости координат. Ориентированная поверхность, которую можно разбить на конечное число и плоского треугольников, называется полиэдральной поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхности, к которой применима формула Стокса.

Дата добавления: 2014-12-10