Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Векторный потенциал




Упражнения

75. Проверить, будут ли соленоидальными поля, указанные в задаче 74.

 

Векторный потенциал (М) определяется с точностью до градиента произвольного соленоидального поля f(М).

В самом деле, если rot (М)= (М) и f(M) – произвольное скалярное поле, то поскольку rot grad f(M) =0, получаем rot( (М)+grad f(M)) = rot (М)+ rot grad f(M)= (М).

Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле (М) было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал (М). Необходимость этого условия является следствием разрешимости системы дифференциальных уравнений:

 

(1)

при условии div = 0 ().

Покажем как можно найти векторный потенциал (М). поскольку в выборе этого вектора имеется значительная доля произвола примем Ax= 0. Тогда система (1) примет вид

(2)

Таким образом, задача сводиться к определению функции Ay и Az, удовлетворяющих условиям (2) при условии, что известные функции P, Q, R таковы, что div = 0. Пусть М0(x0,y0,z0) – фиксированная, М(x,y,z) – произвольные точки параллелепипеда W.

 

 

 
 

 


Рис. 6.

 

Рассмотрим функции

 

Ay(x,y,z)= Az(x,y,z)= (3)

Условие задания поля (М) в параллелепипеде с гранями, параллельными плоскостям координат, гарантирует, что пути интегрирования в этих формулах не выйдут за пределы поля. Применяя правила дифференцирования определенного интеграла по параметру и по верхнему пределу и принимая во внимание условие div = 0, получим, что обе функции Ay и Az, определенные равенствами (3) удовлетворяют и первому из условий (2). Таким образом, = Ах + Ay +Az , координаты Ay и Az определяются формулами (3). Для этого вектора выполняется условие rot = .

 
 

74. Найти векторный потенцал

 

для соленоидального поля, задаваемого вектором а = 2у i - z j + 2х k.

 


Ответы:

10. Область определения – круг x2+y2 £9; линии уровня – семейство концентрических окружностей

x2+y2= 9 –с2 (| с | £ 3).

11. Поле определено во всем пространстве, за исключением точки r =0; поверхности уровня –сферы r=c c центром в точке, где находится заряд.

12.Поле определено в области z2+y2–x2 ³0;поверхности уровня – круговые конусы а2(z2+y2)–x2 =0 (| а | £ 1).

13. Линии уровня u=c представляют собой семейство гипербол x2–y2 =(–1) n arcsin c + p n, где n– целое число.

14. Поле определено во всем пространстве, за исключением плоскости z= 0; поверхности уровня – параболоиды вращения x2 +y2=сz (–¥< c <¥).

 

15. а) –4 +2 –4 . б) 12 ; в) + .

 

16. Прямые, проходящие через начало координат.

17. x2 -y2=с; z=h.

18. x3 +y3=c1; z3 +y3=c2.

19. y=c1z; x2 +y2+ z2= c2y.

20. Окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление вектора ; центры этих окружностей лежат на этой прямой.

22. Окружности с центром на оси Оy, проходящей через начало координат.

23. Направление наибыстрейшего возрастания функции в точке (0,0) совпадает с положительным направлением оси Оy.

24. 1) tgj»0,342, j»18052’; 2) tgj»4,87, j»78024’.

25. Отрицательная полуось оси Оy.

26. 1) cosa»0,99; a=80; 2) cosa» –0,199; a=101030’;

30. Ц = –pb2.

31. Ц = –p.

32. Ц = R6

33. а) Ц =2p; б) Y=2p.

39. .

40.

41.0.

42. 4pabc.

43. .

44. .

45. 1.

46. .

47. .

48. a) 4p a 3; б) 0. Дополните поверхность S до замкнутой; в)0; г) p. Дополните поверхность S до замкнутой; д)0; е) ; ж) 3 а 4.

52.

53. .

60. а) rot = –2cos(2 x–y–z)( +2 ); б) rot =x(z2-y2) + y(x2-z2) + z(y2-x2) ; в) rot = .

61. =20 +26 –24 .

62. .

63.–2 a 2.

64. а) Ц =2p; б) Ц =0.

68. .

69. (x3+ 2 y3+z3)+ 3 xyz + c.

70.

71. Нет.

72. Потенциальными являются поля и .

73. (x,y,z)=xyz(x+y+z)+c, где с произвольная постоянная.

74. х2 j + (хz + y2) k.

Литература

1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. М.: Госкомвуз России, 2000.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа, том. II- М.: Наука, 1973.

3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. II.- М.: Наука, 1984

4. Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш.шк.,1984.

5. Ефимов А.В. и др. Математический анализ (специальные разделы) ч.II. Применение некоторых методов математического и функционального анализа. - М.: Высш. шк., 1980.

6. Кальницкий Л.А и др. Специальный курс высшей математики для вутзов. М.: Высш. шк., 1976.

7. Несис Е.И. Методы математической физики. - М.: Просвещение, 1977.

8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1972.

9. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1985.

10. Бутузов В.Ф. и др. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных. - М.: Высш. шк.,1988.

11. Филиппенко В.И. Приложения кратных интегралов. – Кривой Рог, 1998.

12. Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. – М.: Изд – во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-10; Просмотров: 532; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.029 сек.