КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Об’ємний напружений стан
Тест 1. В сталевій плиті (рис. 111) зроблений отвір кубічної форми з розмірами 1 см×1 см×1 см. В цей отвір щільно без зазорів вставлений кубик розміром 1 см×1 см×1 см стиснутий силою F=6 кН. Визначити головні напруження в кубику, якщо μ=0,3.
Розв’язок
Якщо зволікти куб зі сталевої плити, то по всіх його гранях будуть діяти стискаючи зусилля та створюватися відповідні їм стискаючі напруження. Це пояснюється наступним. В напрямку дії вертикального стискаючого зусилля F будуть створюватися вертикальні деформації стиску, а в поперечних напрямках почнуть створюватися за законом Пуассона деформації розтягу. Враховуючи те, що між бічними стінками куба та плити немає зазорів, в поперечних напрямках від бічних стінок плити будуть діяти однакові стискаючі реакції R1=R2 (тіло ізотропне, а розміри ребер куба однакові). Напруження в напрямку дії стискаючої сили F визначаються за формулою . Реакції R1=R2 неможливо визначити з рівнянь статики. Тому слід розглянути деформації в напрямку дії цих реакцій. За законом Гук для об’ємного напруженого стану маємо: Після скорочення на множник та приймаючи до уваги, що розміри граней куба і реакції R1=R2 однакові, напруження також будуть однакові тобто . В такому разі замість системи двох рівнянь можна розглядувати одне рівняння виду З цього рівняння отримаємо . Таким чином, напруження дорівнюють . Рис. 111.
Тест 2 В сталевій плиті зроблений паз шириною та глибиною 1 см. В цей паз щільно без зазорів вставлений кубик розміром 1 1 1 см стиснутий силою F=6 кН. Визначити головні напруження в кубику, якщо μ=0,33 (рис. 111). Розв’язок. Зволікаєм куб з плити. При цьому у вертикальному напрямку дії сили F будуть створюватися стискаючи деформації та відповідні їм нормальні напруження . В напрямку розташування паза грань куба є вільною, тому в цьому напрямку будуть за законом Пуасона створюватися деформації розтягу, але ж напруження по цій грані куба будуть відсутні. В напрямку бічних стінок плити також буде створюватися розтяг ребер куба, але ж стінки плити будуть спричиняти опір такому деформуванню. Тому з боку бічних стінок плити будуть діяти реакції R, які приведуть до створення стискаючих напружень . Приймаючи до уваги, що матеріал куба є ізотропним, тому напруження в напрямку дії сили F будуть найбільшими стискаючими , а напруження від реакції стінок R є також стискаючими, але ж меншими ніж від сили F. Напруження від дії стискаючої сили F дорівнюють . Напруження в напрямку розташування паза дорівнюють нулю, тобто . Реакцію стінки плити за рівняннями статики визначити не можливо, але ж деформація у цьому напрямку . Тому стискаюче напруження від дії реакції стінки визначимо з рівняння закону Гука для головних деформацій при плоскому напруженому стані
. З цього виразу отримуємо Таким чином остаточно маємо . Статично невизначувані задачі на розтягання (стискання) Тест 1. Визначити напруження в лівій частині сталевого стержня (рис. 112), якщо зазор між лівою частиною та стержнем ∆=0,2 мм, площа перерізу стержня А =5 см2, модуль пружності матеріалу Рис. 112. Е =2∙105 МПа.
Розв’язок: Під дією зовнішньої сили F стержень збільшує свою довжину на величину зазору - ∆. Далі його збільшення буде припинено за рахунок нерухомої лівої стінки, де виникне додаткова опорна реакція R 1. Тому в задачі з’являється додаткове невідоме зусилля, яке не можна знайти тільки за допомогою рівняння рівноваги:
(1)
Складаємо додаткове рівняння деформацій:
(2)
За допомогою закону Гука перетворюємо рівняння деформацій в рівняння невідомих зусиль R 1 і R 2:
; . (3)
Визначимо внутрішні сили N 1 та N 2 за допомогою методу перерізів:
Тоді: ; . Підставимо отримані вирази ∆ li в рівняння (2):
Рішимо систему рівнянь:
;
; ;
; .
Напруження в лівій частині стержня буде дорівнювати:
. Тест 2. Абсолютно жорстка балка (рис. 113) спирається на три бетонні колони (Еб =15∙105 МПа) однакового поперечного перерізу А =500 см2. Між балкою та середньою колоною до навантаження був зазор ∆=0,4 мм. Знайти напруження в усіх колонах.
Рис. 113. Розв’язок: Під дією зовнішнього навантаження колони стискуються на деяку величину, яка буде більше ніж зазор ∆, який був до прикладання розподіленого навантаження між жорсткою балкою та середньою колоною. Тому у всіх колонах виникнуть внутрішні сили (дивись рис. 114).
Для відсіченої частини конструкції залишимо рівняння рівноваги:
якщо , то (1) Рис. 114 Складаємо додаткове рівняння деформацій. Зміна довжини кожної колони показано на рис. 115: (2) За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль Ni. Рис. 115 ; .
Підставимо записані вирази до рівняння (2):
Рішимо систему рівнянь:
Тест 3. Визначити напруження в стержні (рис. 116) при підвищенні його температури на ∆t0=500, якщо a=0,5 м, b=0,6 м, ∆=0,5 мм. Коефіцієнт лінійного розширення для сталі αст=1,25∙10-5 1/град, для міді αм=1,65∙10-5 1/град. Модуль пружності сталі: Ест=2∙105 МПа, міді Ем=105 МПа.
Рис.116. Розв’язок
Під дією температури стержень спробує збільшити свою довжину, тому з двох сторін виникнуть опорні реакції R1 та R2. 1) Визначимо ступінь статичної невизначуваності, як різницю між кількістю невідомих зусиль (R1 та R2) Рис.117. та числом рівнянь рівноваги, які не перетворюються в тотожній нуль.
2) Складемо можливі рівняння рівноваги:
3) Складемо додаткове рівняння деформацій (див.рис.118):
(1) Тобто стержень під дією температури зможе збільшити свою початкову довжину тільки на величину зазору ∆. Рис.118. 4) За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль R1 та R2.
; .
Внутрішні зусилля визначимо за допомогою методу перерізів: ; ; ; .
; .
Підставимо отримані вирази в рівняння (1): Відомо, що напруження при розтяганні (стисканні) визначається за формулою: якщо то
Тест 4. Визначити напруження в стержні (рис. 119) ліворуч від перерізу, в якому прикладена сила, якщо F =400 кН, площа поперечного перерізу А =20 см2, модуль пружності сталі Е ст=2∙105 МПа, міді Е м=105 МПа.
Рис.119. Розв’язок: Під дією зовнішньої сили F стержень намагається змінити свою довжину, але за рахунок опорних реакцій жорстких опор зліва та справа його повне подовження буде дорівнювати нулю. 1) Визначимо ступінь статичної невизначуваності:
Рис.120. Кількість невідомих опорних реакцій дорівнює 2 (рис. 120). Кількість рівнянь рівноваги, які не перетворюються у тотожний нуль – 1. 2) Складемо рівняння рівноваги: . (1) 3) Складемо додаткове рівняння деформацій: . (2) 4) За допомогою закону Гука перетворимо рівняння деформацій в рівняння відносно невідомих зусиль R1 та R2. ; ; . Внутрішні зусилля N1,N2 та N3, визначимо за допомогою методу перерізів:
Підставимо знайдені внутрішні сили в вираз ∆ li.
; ; .
5) Вирішимо систему рівнянь, яка складається з рівняння (1) та перетвореного рівняння (2).
; ; ; . . . Враховуючи, що , то .
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 815; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |