Интегрирование изображения

Дифференцирование изображения

Дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на , т.е.

, (11)

.

В самом деле, поскольку – аналитическая функция
комплексной переменной в полуплоскости , то ее можно дифференцировать по (под знаком интеграла); получаем

,

т.е. ; аналогично для .

ПРИМЕР 10. Найти изображение для оригинала .

Решение. Из примера 6 имеем . Применяя правило дифференцирования изображения, получаем

, т.е. ;

, т.е. ;

после " "-кратного дифференцирования приходим к соотношению

.

ПРИМЕР 11. Найти изображение оригинала .

Решение. Из примера 7 имеем . Изображение функции найдем дифференцированием по функции

и умножением этой производной на , т.е.

.

Если функция удовлетворяет условиям существования
изображения и , то справедливо соотношение

, (12)

т.е. интегрированию изображения соответствует деление на оригинала.

Обоснование этого утверждения подробно изложено в [2].

ПРИМЕР 12. Найти изображение функции .

Решение. Имеем . В силу соотношения (12) получаем

.

Применяя операцию интегрирования оригинала, можем записать

.

Задания

1. Пользуясь простейшими свойствами преобразования Лапласа, получить изображения следующих оригиналов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответы: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

2. Для дифференциального уравнения

при , , записать соответствующее операторное уравнение, решить его. Найти решение дифференциального уравнения.

Ответ: операторное уравнение имеет вид

или , откуда , т.е. , .

3. Найти изображение для и .

Ответ: и .

Дата добавления: 2014-12-16