И изображения

ТЕОРЕМЫ О СДВИГЕ АРГУМЕНТОВ ОРИГИНАЛА

Теорема (о запаздывании оригинала)

Если и , то для
справедливо соотношение

. (13)

Иначе говоря, если процесс, описываемый оригиналом , запаздывает на по сравнению с первоначальным (см. рисунок), то изображение, соответствующее этому процессу, получается умножением изображения первоначального оригинала на . В самом деле, для оригинала по определению (1) изображение
запишется в виде

, поскольку для каждого . Проведем замену переменной , . Тогда

.

ПРИМЕР 13. Найти изображение прямоугольного импульса амплитуды
продолжительностью с запаздыванием (см. рисунок).

Решение. Импульс

можно записать аналитически с помощью единичной функции в виде

Используя свойства преобразования Лапласа и теорему о
запаздывании оригинала, получаем

.

Замечания: 1. При использовании теоремы запаздывания
оригинала рекомендуется всегда оригинал записывать с множителем . В противном случае возможны ошибки. Например, для оригинала , а для оригинала .

2. Теорема запаздывания оригинала используется для нахождения изображения кусочно-непрерывных функций (иногда их называют "склеенными" функциями).

ПРИМЕР 14. Найти изображение оригинала

Решение. Можно записать . Тогда .

Здесь имеем и

Суммируя эти функции на промежутках , , ,
получаем значение функции .

ПРИМЕР 15. Найти изображение функции, представленной графиком на рисунке.

Решение. Функция

может быть представлена через единичную функцию , а именно . Для того, чтобы применить теорему о запаздывании оригинала, преобразуем второе слагаемое к виду . Окончательно получаем и по формуле (13) .

ПРИМЕР 16. Найти изображение функции, представленной графиком.

Решение. По рисунку имеем

Через единичную функцию запишем так, чтобы на каждом из промежутков значение совпало с вышеуказанным, а в точках "стыка" графика "вводилась" единичная функция с соответствующим сдвигом аргумента. Получаем

и соответственно

.

Дата добавления: 2014-12-16