Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теоретические сведения к практической работе. Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:




Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

(1)

Обозначения производной в точке х 0:

и другие.

Если функция в точке х 0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().

Уравнение касательной к кривой
в точке х 0 (прямая М 0 Т) имеет вид:

(2)

а уравнение нормали (М 0 N):

(3)

Правила дифференцирования

№ пп U = u (x), V = V (x) — дифференцируемые функции № пп U = u (x), V = V (x) — дифференцируемые функции
I VI Производная сложной функции
II VII Функция задана параметричес-кими уравнениями
III
IV VIII Если и — взаимно обратные функции, то
V

 

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп с =const, х — независимая переменная, u = u (x) — диф­ференцируемая функция
  С ’= 0  
  x ’= 1  
   
   
   
   
   
     

Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка.

Производная третьего порядка или и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а) б) в) г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t =1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v =1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t =1, получим:

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х 0=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

Подставим в уравнения и получим:

или — уравнение касательной.

или — уравнение нормали.

Пример 3. Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а) б) в)

Для дифференциала функции справедлива формула т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а)

б)

в)

Пример 5. Найти производную второго порядка функции

Решение. поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

 

Пример 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

(5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).

Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

а) б)

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

б)

 

Содержание практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1)

2) 3)

4)

5)

6)

 

Задание 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y = f (x) в точке с абсциссой х 0.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти производную функции y = у (x), заданной параметрически:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 4. Найти дифференциалы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 5. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 6. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

 

Практическая работа №4

Тема: Дифференцирование сложных функций.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 1012; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.