Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y' = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v - неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

y' = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y' = u'v + uv'

3. Подставить y и y' в данное уравнение: u'v + uv' = f(x)uv + g(x) или u'v + uv' + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример типового расчета:

Найти частное решение уравнения y' = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv,. y' = u'v + uv'

Подставляя y и y' в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по дидактическим карточкам с заданиями (4 варианта).

Приложение: дидактические карточки с заданиями в 4 варианта.

Контрольные вопросы:

Вариант – 1.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

3. при у(1)=3

4.

Вариант – 2.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

3. при у=0 и х=0

4.

Вариант – 3.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1. при х=0 и у=2

2.

Вариант – 4.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

3. у(-2)=3

4.

Вариант – 5.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

3.

4.

Вариант – 6.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

3.

4.

Практическая работа №12

Тема: Решение практических задач с помощью дифференциальных уравнений.

Дата добавления: 2014-12-16