Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Аналогия




Математическая индукция

Один из важных методом математического доказательства, который охватывает бесконечное множество случаев, основывается на принципе (аксиоме) индукции.

Теорема о принципе математической индукции. Если некоторое предложение А(п) верно при п = 1 и из предложения, что оно верно при некотором значении п = k, следует, что это предложение верно и при следующем значении п = k+1, то предложение А(п) верно при всех пÎN

Например. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1+3+5+…+(2п-1)=п2.

Доказательство. Равенство 1+3+5+…+ (2п-1)=п2 представляет собой формулу, по которой можно находить сумму п первых последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 1+3+5+7=42=16; если сумма содержит 20 слагаемых указанного вида, то она равна 202=400 и т.д.

1) Убедимся в истинности данного равенства п=1. При п=1 левая часть равенства состоит из одного члена, равного 1, правая часть равна 12. Так как 12 =1, то для п = 1 данное равенство истинно.

2) Предположим, что данное равенство истинно для п =k, т.е. что 1+3+5+…+(2 k -1) = k2. Исходя из этого предположения, докажем, что оно истинно и для п = k+1, т.е. 1+3+5+…+ (2п-1) + (2п+1) = k2+ 2k+1. Выражение k2+ 2k+1 тождественно равно выражению (k+1)2. Следовательно, истинность данного равенства для п = k+1 доказана.

Вывод: данное равенство истинно для п =1 и из истинности его для п = k следует истинность для п = k +1. Тем самым доказано, что данное равенство истинно для любого натурального числа.

Еще одним важным видом умозаключений, используемых в математике, является аналогия.

Определение. Аналогия умозаключение о принадлежности предмет ту определенного признака (т.е. свойства или отношения) на основе сходства в существенных признаках с другими предметами.

Например, мы утверждаем, что формула числа элементов декартова произведения конечных множеств аналогична формуле числа элементов декартова произведения двух множеств.

Точно так же при объяснении правил умножения многозначного числа на однозначное и двухзначное можно пользоваться аналогией при умножении многозначного числа на число единиц и на число десятков, подчеркнув лишь различия в записи.

Аналогия – достаточно эффектный механизм познания, умственный прием, используемый как в научных исследования, так и в обучении. Рассуждения по аналогии имеют следующую общую схему:

А обладает свойствами a, b, g, d;

В обладает свойствами a, b, g,

Возможно, В обладает свойством d.

В последнее время философы относят аналогию не только к категориям логики, но и к категориям психологии. Так, психолог А И. Уемов считает, что проблема аналогии является одной из разновидностей ассоциаций по подобию, но основе которой одна мысль порождает другую. В одних случаях такая ассоциация помогает получить истину, в других – препятствует, т.е. каким будет результат предположить нельзя. Аналогия очень часто большое убеждение, так как ассоциация, которая породили ту или иную мысль у человека, может привести и к возникновению ее в подобных условиях. Однако это убеждение не следует отождествлять с доказательством. Такою есть психологическая концепция аналогии.

Поэтому выводы по аналогии могут оказаться как правильными так и не правильными. Они требуют специального обоснования правильности или не правильности с помощью дедуктивных рассуждений.

Аналогия как логический метод научного познания широко используется в математике и других науках. Не менее важная роль аналогий в обучении математики в школе во время формирования понятий, обучению вычислительным навыкам и решению различных задач.

Использование аналогий во время формирования понятий повышает активизацию умственной деятельности учащихся, так как установив, что новое понятие аналогично изученному раньше, учащийся может предположить совпадение свойств этих понятий. Сравнение аналогичных понятий дает возможность устанавливать одинаковые свойства, а также выявлять свойства, которые совпадают (например, для понятий “числовое равенство” и “числовое неравенство”). Это дает возможность более глубоко усвоить свойства новых понятий, прочно их запомнить и предупредить возможные ошибки. Большие возможности использования аналогий во время формирования основных понятий курса геометрии. Если учитель умело руководить мышлением учащихся, то они самостоятельно устанавливают пары аналогичных понятий: окружность, круг, шар; квадрат и куб; параллелограмм и параллелепипед и т.д.

Формирование умения делать выводы по аналогии следует осуществлять поэтапно. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы при использовании аналогии в учебном процессе: объяснение принципа действия по данному образцу; закрепление и развитие, полученных на первом этапе умений и навыков; применение данного способа действия к более сложным, но аналогичным заданиям.

Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров:

· Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов.

Например, если при изучении классов установлено, что в классе единиц три разряда – единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.

· Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами.

Например, учащиеся установили, что 4´(3+7)>4´3+4´6, так как 4´(3+7)=4´3+4´7>4´6. Рассматривая затем выражения 3´(8+9) и 3´8+3´7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3´(8+9)>3´8+3´7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо при помощи вычислений.

· Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа.

Например, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27´3=(20+7)´3=20´3+7´3=81) детям предлагается умножить 712 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712´4=(700+10+2)´4=2800+40+8=2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.

Следующим шагом может быть обобщение, т. е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное.

Вообще аналогия столь часто используется в обучении, что иногда является препятствием к сознательному усвоению знаний и приводит часто к неправильным выводам. Например, решая неравенство х2+х+1>0 и убедившись, что корней соответствующего уравнения нет, ученик утверждает, что решений это неравенство не имеет по аналогии с уравнением х2+х+1=0. Это ошибка, так как решений – бесчисленное множество, а именно, все множество R.

Приведем еще несколько типичных примеров ошибок, совершаемых учениками из-за неправильного применения рассуждений по аналогии.

В начальной школе известно, что действия сложения и умножения переместительны и сочетательны. Некоторые ошибки могут возникнуть из-за переноса этих свойств по аналогии на действия вычитания и деления. Например, 158-18-10=158-(18-10)=158-8=150. Здесь «незаконно» использовалось свойство сочетательности вычитания, которого у вычитания нет.

Если в математике ошибки по аналогии достаточно «безобидны», то в жизни это не так. Съев ягоду, похожую на хорошую, ребенок может отравиться.

7. Умозаключения «от противного»

Схема умозаключения «от противного» такова: «Если из А следует В, то из не В следует не А». Другими словами, если верно АÞВ, то верно , и наоборот. Такое умозаключение лежит в основе рассуждения от противного и в математике. Если АÞВ назвать прямой теоремой, то ВÞА называется обратной теоремой, а называется противоположной к обратной теореме. Покажем справедливость ,при условии справедливости АÞВ. Нам нужно доказать, что если истинно, то истинно. Другими словами, если В ложно, то А ложно. Но это очевидно, так как истинность А влечет за собой истинностьВ. Приведем пример этого рассуждения из обыденной жизни. Допустим, что мы знаем, если дедушки нет дома, то засов на сарае стоит (АÞ В).Мы пришли и обнаружили, что засов на сарае не стоит (). Значит, дедушка дома , т.е. . Существует удобная иллюстрация приведенного умозаключения на диаграмме Эйлера-Венна. Если А ÌВ, то Ì . На диаграмме это свойство хорошо видно: Ì . Кроме рассмотренных видов умозаключений, в логике изучают, много других видов умозаключений.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 934; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.018 сек.