Операции над множествами

Практическое занятие №1. Операции над множествами

По математике

Электронный практикум

для студентов юридического факультета

Краснодар-2013

Цель занятия:	1.	изучить способы задания множеств;
	2.	получить навыки в применении операций над множествами.

Множества можно задавать двумя способами:

1.перечислением элементов множества.

Например, множество M={x, y, z} состоит из трёх элементов, порядок перечисления которых не имеет значения, т.е. {x, y, z}={y, x, z}=...

2. описанием элементов множеств:

- описанием характеристических свойств, объединяющих элементы в виде уравнений, диаграмм Эйлера-Венна и геометрически. Например, множество M = {x² Î N; x – простое число} задано квадратами простых чисел.

- описанием множеств, порожденных процедурами над элементами, означает указание алгоритма порождения элементов этого множества. Например, подмножество М всех нечетных натуральных чисел с помощью порождающей процедуры имеет вид: M={xÎN: x=1+2n, nÎN}

Рассмотрим операции над множествами в порядке убывания приоритета. Пересечением (произведением) двух множеств называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. Обозначение: С = АìüВ	A∩B
Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (или тому и другому вместе). Обозначение: С = АîþВ	AUB
Разностью множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Обозначение: С = А ½ В или С = А \ В	А\B
Дополнением множества А до универсального множества U называется множество С, равное разности U½A. Обозначение: С = U½А или С = Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество
С = Аîþ В | Аìü В. Обозначение: С = А D В Формула включений и исключений для двух множеств А и В: n(АîþВ)= n(А)+ n(В) - n(А∩В). для трех множеств А, В и С:	А D В

n(АîþВîþС)= n(А)+ n(В)+ n(С)- n(А∩В)-n(А∩С)-n(В∩С)-n(А∩В∩С)

где n(Z) – количество элементов множества Z, т.е. его мощность.

Примеры выполнения заданий

1. Заданы множества: А = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Найдите элементы множеств: D = Аîþ В и Е = АìüВ.

D= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, Е = {1, 3, 5}.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Задайте множество А перечислением его элементов:

0)A={xÎR| (x^2–6x+5)×(x^2–x–12)=0}	1)A={xÎR |(x^2–5x+6)×(x^2+x–20)=0}
2)A={xÎR| (x^2 –5x +4)×(x^2–x–6)=0}	3)A={xÎR|(x^2+4x–5)×(x^2–7x+12)=0}
4)A={xÎR| (x^2+3x–4)×(x^2+x–12)=0}	5)A={xÎR |(x^2–5x–6)×(x^2–x–6)=0}
6)A={xÎR |(x^2 +x–2)×(x^2–7x+6)=0}	7)A={xÎR|(x^2–3x–4)×(x^2–9x+20)=0}
8)A={xÎR |(x^2–3x+2)×(x^2–4x–5)=0}	9)A={xÎR |(x^2–x–2)×(x^2–x–20)=0}

2. Заданы множества: А = {1, 3, 9, 10, 8}, B = {5, 3, 11, 4, 8} и C = {1, 4, 8, 9, 10}. Найдите элементы множеств Д и Е:

0)Д = АîþВìüС; Е = (А D В) | С;	1)Д = (АîþС) | (ВìüС); Е = А| ВìüС;
2)Д = АîþВîþС; Е = АìüС D В;	3)Д = (АîþС)ìüВ; Е = А DВîþС;
4)Д = (АîþС) | В; Е = (В D С) | А;	5)Д = АìüВìüС; Е = С D В | А;
6)Д = Аîþ(В D С); Е = А | В | С;	7)Д = (ВîþС) | (АìüС); Е = АîþВ | С;
8)Д = (АîþВ)ìüС; Е = А D В | С;	9)Д = (АîþВ) D С; Е = АìüВ | С;

3. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна в двух вариантах расположения следующие множества:

0) а)U½ ; б) ìü B½C;	1) а)CîþА½ ; б)(А½В)îþC;	2) а) (A D В)½C; б) ìüС;
3) а)АìüВ½С; б)AìüВîþС½А;	4) а) ½С; б)(В½А)ìüC;	5) а) ìü ½С; б) ½С;
6) а)С½АîþВ; б) ìü (В D С);	7) а)U½ ; б)CìüА½ ;	8) а)A½ (B D C); б)С½АìüВ;
9) а) (АîþВ)ìü(В D С); б)AîþВ½C;

а)

б)

Законы теории множеств

АîþВ	º ВîþА;	AîþÆ	º А;
АìüВ	º ВìüА;	AìüÆ	º Æ;
Аîþ (ВîþС)	º (АîþВ)îþ С;	Aìü	º Æ;
Аìü (ВìüС)	º (АìüВ)ìüС;	AîþA	º А;
Аìü (ВîþС)	º (АìüВ)îþ (АìüС);	AìüA	º А;
Аîþ (ВìüС)	º (АîþВ)ìü(АîþС);		º ìü ;
Аîþ U	º U;		º îþ ;
AìüU	º А;	Aîþ (AìüB)	º А;
Aîþ	º U;	Aìü (AîþB)	º А

Равносильности теории множеств

А½В	º Аìü ;	A½(В½С)	º (А½В)îþ(AìüС);
А½А	º Æ;	(A½В)½С	º A½BîþС;
А½ (ВîþС)	º (А½В)ìü(A½С);	A D В	º B D A;
А½ (ВìüС)	º (А½В)îþ(A½С);	A D В	º АîþВ ½ АìüВ;
(АìüВ)½С	º (А½С)ìü(В½С);	A D В	º (А½В)îþ (В½А);
(АîþВ)½С	º (А½С)îþ(В½С);	A D (ВD C)	º (A D В)D C;
А½(А½В)	º AìüB;	Аìü(В D C)	º (АìüВ) D (AìüC).

4. Докажите тождества:

0)X ∪ º Z ∪ X º ∩ X ∩ ∪ Z | º Z | Y | ( ∪ Z) º Æ;	1) X ∩Y∩(X∩Z∪X∩Y∩Z ∪Z∩ t) º X ∩Y∩Z º Y ∪ ∪ (X | (X | )) ∪ ( | ( | )) º ∩ ( | X ∪ ) º Æ;
2) ∩Y∩ Z∪X∩Z º (X ∪Y) ∩Z X∪ ∪ ºX∪Z∪ Y | (Y | X ∪ ) º Y ∩ X ( ∩ | X) | º Æ;	3) X ∩Y∪X∩Y∩Z ∪X∩Y∩Z∪X∩Y∩Z º X∩Y º X ∩ ∩ Y (X | ) | º X (X ∩ ) | ( ∪ ) º Æ;
4) ∪ Y ∩ Z ∪ ∪ ∪ º U ∩ º ∩ | º Z | Y º Æ;	5) ((X ∪ Y) ∪ ( ∩ )) ∩ º X ∩ º ( ∪ Z) ∩ X | Y ∪ X ∩ Z º X | Y ∩ º Æ;
6) º U º X ∩ Y | º X ∩ ∩ Y ∩ (Y ∪ Z) ∩ X ∩Y º Æ;	7) (X ∪ Y ∪ Z) ∩ (X ∪ Y) ∪ Z º X ∪ Z ∪ Y º ∪ Y | (X ∩Y | ) º Y | X | ∪Y º Æ;
8) X ∪ ∪ X ∩ Z º U ∪ º ∪ X ∪ ∩ (Y| ) º X | ∪ º Æ;	9) (X ∪ Z) ∩ (X ∪ Y) ∩ (Y ∩ Z) º Y ∩ Z ∩ º (Y ∪ ) ∩ ( | ) | º X | Z ∩ º Æ;

Дата добавления: 2014-12-16