Постоянный электрический ток

Полный поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность с точностью до коэффициента 1/e0 равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

Математическая форма записи теоремы Гаусса имеет следующий вид:

Ф₀ = или в развернутом виде .

Следствие: если заряды, создающие поле, находятся вне воображаемой замкнутой поверхности, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю.

Теорема Гаусса имеет достаточно важное значение, т.к. является одним из уравнений Максвелла, которые лежат в основе теории электромагнетизма. Кроме того, эта теорема может быть использована для вычисления напряженности. Для этого необходимо, чтобы величину Е можно было вынести из-под интеграла. Это можно сделать, если Е =const на всей поверхности интегрирования. Нетрудно догадаться, что воображаемая замкнутая поверхность должна иметь симметрию, подобную симметрии расположения зарядов. При этом удобно ее выбрать так, чтобы косинус угла между вектором Е и нормалью к поверхности принимал значения либо 1 либо 0

Для иллюстрации полезно рассмотреть два примера.

Поле от бесконечной плоскости.

Пусть имеется плоскость, равномерно заряженная с поверхностною плотностью s. Требуется найти напряженность электрического поля в точке, отстоящей от плоскости на расстояние х₀. Для решения задачи проведем замкнутую поверхность через заданную точку А Поверхность имеет форму прямоугольного параллелепипеда, боковые грани которого перпендикулярны заряженной плоскости. Выбор такой формы поверхности связан с тем, что вектор напряженности электрического поля Е вблизи плоскости должен быть нормален к ней. Кроме того, наша воображаемая поверхность должна быть симметричной относительно заряженной плоскости. Полный поток через поверхность параллелепипеда складывается из потоков через его боковую поверхность и потоков через его верхнее и нижнее основания, параллельные заряженной плоскости.

Но поток через боковые поверхности равен нулю, т.к. нормали ко всем четырем боковым граням перпендикулярны вектору Е и для них cosa = =cos(n ^E) = 0. В силу симметрии потоки через верхнее и нижнее основания одинаковы так, что полный поток Ф₀ = 2Е_АS. В то же время заряд, находящийся внутри нашей воображаемой поверхности равен заряду на заштрихованном участке, т.е. Q = s S. Тогда из теоремы Гаусса следует, что 2Е_АS =(1/e₀) s S, откуда

Е_А = .

Поле от заряженной сферы.

В качестве второго примера рассмотрим поле от заряженной сферы, полный заряд которой равен Q. Если точка А, где требуется определить напряженность, находится вне заряженной сферы, то очевидно в качестве воображаемой поверхности выбрать сферу, концентрическую нашей заряженной сфере. В этом случае Е_А параллельно n, и Ф₀ = Е_АS. Т.к.площадь сферы равна 4pR², то из теоремы Гаусса нетрудно найти:

Потенциал электрического поля.

Заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией. Величина этой энергии зависит от величины заряда q. Для того, чтобы можно было охарактеризовать само поле, условились относить величину потенциальной энергии заряда q к величине этого заряда. Эту величину принято называть потенциалом электрического поля. Здесь необходимо напомнить, что само определение потенциальной энергии содержит в себе неоднозначность, т.к. эта энергия определена с точностью до некоторой постоянной. Для однозначной характеристики электрического поля принято определять эту постоянную при удалении заряда q на бесконечность. Считается, что два заряда, удаленные друг от друга на бесконечность, не взаимодействуют, т.е. их энергия взаимодействия и, следовательно, постоянная равны нулю. Поэтому можно сказать, что потенциалом электрического поля j называется работа по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Из выражения для работы А следует, что потенциал j равен

j =

Потенциал – величина скалярная, он удовлетворяет принципу суперпозиции, т.е. потенциал от суммы зарядов равен сумме потенциалов от каждого заряда в отдельности. Если заряд q равный 1 Кулону, перемещается из одной точки поля в другую, то соответствующую работу называют разностью потенциалов или напряжением U, т.е.

Dj =U = ;

где R₁ и R₂ соответствуют начальному и конечному положению единичного положительного заряда. Единицей напряжения, как известно, служит один Вольт. При перемещении произвольного заряда q величина совершаемой работы увеличивается в q раз.

Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.

Связь между потенциалом и напряженностью поля легко найти, помня связь между силой и работой:

j = .

Обратная связь между напряженностью и приращением потенциала должна иметь вид , однако следует отметить, что напряженность поля – вектор. Поэтому производная должна иметь смысл производной по направлению. Для положительного заряда вектора напряженности положительны и направлены от заряда и в сторону уменьшения потенциала. Поэтому перед производной необходимо поставить знак минус, т.е.

.

Из этого выражения видно, что величина производной зависит от угла между Е и dl. Так для направления, перпендикулярного Е, проекция E_l равна нулю; наоборот, для направления вдоль Е производная по dl максимальна и равна Е, т.е.

_{в направлении Е}.

Термин «производная по направлению» становится более понятным в применении к прямоугольным координатам. Рассматривая поочередно проекции Е на оси x,y и z можно написать:

где i, j, и k - единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е находится как сумма:

E = Е_х + Е_у + Е_z.

В теории поля производная по направлению наибольшего изменения функции называется градиентом (grad), т.е. связь между напряженностью и потенциалом имеет вид:

E = - grad j.

Электроемкость.

Между зарядом и потенциалом проводника существует определенная взаимосвязь. Коэффициент пропорциональности между ними носит название электроемкости или просто емкости: Сj =q. Беря приращение от обеих частей, имеем: СDj =Dq или CU =Dq. Отсюда

. Единицей емкости является фарада (Ф). 1Ф = ; 10^-6 фарады = 1 мкф (микрофарада), 10^-12 фарады = 1 пкф (пикофарада). Величину емкости любого проводника легко определить, деля величину заряда проводника на его потенциал. Так металлический шар радиуса R, несущий заряд Q, имеет потенциал

Следовательно, его емкость С равна С = 4pe₀R.

Как видно из этой формулы, электроемкость пропорциональна размерам проводника, и для получения больших емкостей требуются гигантские размеры проводников. Даже Земля имеет емкость чуть больше 600 мкф. Поэтому для практических целей используется система из двух противоположно заряженных пластин, называемая конденсатором. Геометрически это может быть плоская, цилиндрическая или шаровая конфигурация. Самый простой случай – это плоский конденсатор. Как уже было показано, напряженность поля от бесконечной заряженной пластины определяется формулой , где s = Q/S – заряд на единицу площади. Если пластины расположены достаточно близко друг к другу, так что поле сосредоточено в области между ними, то, как это видно из рис.10, поля от каждой пластины складываются в области между пластинами и уничтожаются в области снаружи пластин. В этом случае в области между пластинами напряженность поля равна E = s/e₀ и не зависит от расстояния (поле является однородным). Напряжение между пластинами U = Ed, где d – расстояние между пластинами. Поэтому емкость плоского конденсатора С_плс равна

С_плс =

Когда область между пластинами заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e, .

Известны и другие формы конденсаторов. Так, например, цилиндрические обкладки, разделенные слоем стекла, образуют так называемую лейденскую банку. В экспериментах по наблюдению фотоэффекта часто используется шаровой конденсатор. Не так давно, когда в радиотехнике использовались отдельные детали, был популярен трубчатый конденсатор.

Соединение конденсаторов.

Конденсаторы можно соединять параллельно и последовательно друг с другом.

В первом случае заряды на всех пластинах складываются и складываются емкости, тогда как потенциалы всех пластин одинакового знака оказываются одинаковыми:

;

для последовательного соединения заряды на всех конденсаторах одинаковы, а складываются в этом случае напряжения:

; ; .

В частности, для двух последовательно соединенных конденсаторов общая емкость определяется как:

Энергия заряженного конденсатора.

Пусть имеется конденсатор емкости С, заряженный до напряжения U. Для того, чтобы перенести на него добавочный заряд dQ требуется совершить работу dA = UdQ; но в конденсаторе заряд и напряжение связаны соотношением Q = CU, дифференцируя которое, получим dQ =CdU. Тогда dA =CUdU, и полная работа, которую надо совершить для заряда конденсатора

.

Эта работа превращается в энергию электрического поля конденсатора .

Если учесть, что объем конденсатора V = Sd, то можно говорить о плотности энергии w, где

w = . Подставляя в последнюю формулу выражение для емкости плоского конденсатора и учитывая, что U = Ed = sd/e₀, находим:

w = .

Последнее выражение характеризует плотность энергии электрического поля.

Основные определения.

Известно, что электрический ток – это направленное движение электрических зарядов. Если количество зарядов, проходящее через заданную площадь в единицу времени не меняется с течением времени, то такой ток называют постоянным. Ясно, что движение может быть направленным только под влиянием внешних электрических сил. Для того, чтобы ток оставался постоянным с течением времени, электрическая цепь, т.е. ряд проводников, соединенных параллельно и последовательно друг другу, должна быть замкнутой.

Отсюда следует, что силы не могут быть электростатическими, т.к. работа этих сил по замкнутому контуру всегда равна нулю. Обычно эти силы называют сторонними, подчеркивая их неэлектростатическое происхождение. Сила, отнесенная к величине перемещаемого заряда, по аналогии с электростатикой, называется напряженностью, а работа по перемещению единичного положительного заряда на каком-либо участке получила назва-ние электродвижущей силы. Однако обычно принято говорить об электродвижущей силе источника тока E, понимая под этим работу, соверщаемую источником во всей цепи. Поскольку ЭДС – это работа, то между нею и напряженностью сторонних сил остается справедливым соотношение, полученное в электростатике4:

E = .

При разомкнутой цепи сторонние силы источника так перераспределяют заряды, что создаваемое ими поле компенсирует действие сторонних сил внутри источника. При замкнутой цепи заряды рапределяются и вдоль проводников внешней цепи, создавая поле внутри их.

Если на каком- либо участке цепи действуют сторонние и электростатические силы, то работа по перемещению единичного положительного заряда будет складываться из работ каждой из этих сил по отдельности. Величину общей работы принято называть напряжением. Если понятие “участок” распространить на всю цепь, то очевидно, что тогда общая работа равна E.

Закон Ома.

Для выяснения закономерностей постоянного тока обратимся к упрощенной микроскопической картине. Рассмотрим отдельный заряд величиной q ₀ , являющийся одним из носителей тока в проводнике (для металлов q₀ = -е, где е – заряд электрона). В силу теплового движения каждый заряд движется хаотически, а под действием сторонних сил он приобретает еще и направленное движение. При хаотическом движении заряд постоянно сталкивается с ионами, масса и размеры которых значительно больше аналогичных параметров носителя. Ионы также участвуют в тепловом движении, но это, в основном, колебательные движения, амплитуда которых увеличивается с температурой. Носители, сталкиваясь с ионами, на какое – то мгновение как бы прилипают к последним (разноименные заряды стремятся притянуться друг к другу). На языке механики это означает, что носители испытывают неупругие столкновение с ионами так, что новый путь они начинают с нулевой скоростью направленного движения. Пусть время между двумя последовательными соударениями равно t. Тогда под действием напряженности носитель за это время приобретет скорость u =at. Ускорение а =F/m = q₀ E/m; m – масса носителя. Вводя понятие плотности тока j, которое определяется как количество зарядов, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости, можно записать:

где .

Величина l, определенная таким способом, называется электропроводностью материала, а обратная ей r=1/l -удельным электросопротивлением. Нетрудно заметить, что плотность тока – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора скорости. Соотно­шение j =lE носит название закона Ома в дифференциальной (векторной) форме. Еди­ницы измерения плотности тока- Ампер/квадратный метр (А/м²), удельного сопротивле­ния- Ом*м.

Если однородный проводник имеет длину l и площадь поперечного сечения S, то закон Ома для такого проводника может быть записан в несколько ином виде. Для этого умножим обе части соотношения jr =E на произведение l S и учтем, что для однородного проводника поле внутри его везде одинаково, т.е. однородно, и E l =U – разность потенциалов на концах про­водника. Тогда получим:

jSr l =E l S.

Введем понятие силы тока I = (jS) и обозначим r l/ S =R, теперь наше соотношение приобре­тает обычный вид: U =IR, где U – напряжение на концах проводника, а I –сила тока.

Сила тока (измеряется в амперах (А)) характеризует заряд, прошедший через проводник в единицу времени. Величина R называется сопротивлением проводника (единицы измере­ния- Ом).

Для соединения нескольких проводников величина общего сопротивления R₀ находится по известным правилам: для последовательного соединения R₀ =S R_i, а для параллельного

.

Если на рассматриваемом участке имеется источник тока с ЭДС ε, как уже отмечалось, общее напряжение складывается из разности потенциалов и ЭДС, т.е.

U =IR +ε.

Этот вариант записи соотношения между током и напряжением носит название закона Ома для участка цепи, содержащей ЭДС. Здесь важно учитывать правило знаков: считается, что положительный ток проходит от положительного полюса элемента к отрицательному; при заданном направлении тока через рассматриваемый участок, ЭДС считается положитель­ной, если она создает ток в этом же направлении и отрицательной – если в противополож­ном. Для замкнутой цепи очевидно, что концы проводника замыкаются сами на себя и U=0. Тогда закон Ома примет вид

ε = (R + r)I,

где r – внутреннее сопротивление источника тока.

Закон Джоуля – Ленца.

При выводе дифференциального закона Ома предполагалось, что носители тока в момент столкновения с ионами как бы прилипают на мгновение к последним, т.е. носители полностью теряют свою энергию, которую они приобрели под действием ускоряющего поля. Эта энергия передается ионам и переходит в энергию их хаотических колебаний, т.е. в теплоту. Количество теплоты, выделившееся за время t на проводнике, сопротивление ко­торого равно R определяется следующим образом:

Q=UIt=I²Rt =U²t/R,

(в преобразованиях использован закон Ома для участка цепи). Полученная формула описы­вает закон Джоуля-Ленца в интегральном виде.

Выделяющаяся теплота имеет смысл полезной лишь в нагревательных приборах; во всех других случаях это – потери энергии, снижение этих потерь составляет одну из важнейших задач электротехники. Эта теплота образуется за счет энергии сторонних сил.

Для замкнутой цепи полная работа по перемещению единичного положительного заряда по определению равна ε, значит полная мощность, которую может развить источ­ник, равна ε I. Величина совершенной работы за время t определится как A = ε It.

Зависимость проводимости материалов от температуры.

Из рассмотрения проводимости металлов следует, что их сопротивление обуслов­лено взаимодействием носителей с колеблющимися ионами. Поскольку с повышением тем­пературы амплитуда тепловых колебаний увеличивается, и носители начинают чаще стал­киваться с ними, можно сделать заключение о том, что с повышением температуры сопро­тивление проводников должно увеличиваться. Эту зависимость можно описать следующей формулой:

r=r₀(1+αt), где r₀ – удельное сопротивление металла при 0^о С, t- температура в градусах С.

С понижением температуры сопротивление проводников должно уменьшаться, достигая минимума при абсолютном нуле. Однако в действительности при низких, но конечных тем­пературах сопротивление некоторых металлов скачком падает до нуля. Это явление было открыто в 1911 г и получило название сверхпроводимости. Долгое время для его наблюде­ния требовались температуры, близкие к температуре жидкого гелия, и лишь сравнительно недавно удалось повысить температуру сверхпроводящего перехода до значения 90-100 К. Сверхпроводимость стало возможным наблюдать при температуре жидкого азота. Природа возникновения сверхпроводимости может быть объяснена только в рамках квантовой тео­рии.

Дата добавления: 2014-12-16