можно поставить в соответствие расширенную матрицу:
.
(2)
Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.
Действительно,
Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.
Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:
,
(3)
где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.
Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.
Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных (n-r) рассматривается в качестве свободных параметров и называются свободными переменными. Остальные r переменных выражаются через свободные и называются опорными, базовыми, определёнными, зависимыми.
Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.
Предположим, что матричный элемент a11 первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.) Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на (- a11/ a12), к третьей строке - первую, умноженную на (- a11/ a13) и так далее. В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a11.
Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы. Предположим, что матричный элемент a22 второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.) Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на (- a22/ a23), к третьей строке - первую, умноженную на (- a22/ a24) и так далее. В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a22.
И так далее.
В конечном итоге мы получаем матhицу вида (3).
Примеры:
1. Решить систему уравнений
методом Гаусса. Решение. Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками:
Полученная матрица описывает систему уравнений
эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно:
Убедимся в том, что полученный набор обращает каждое уравнение данной системы в тождество:
***
2. Решить систему уравнений
методом Гаусса. Решение. Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные операции над строками:
Третья строка этой матрицы соответствует уравнению
не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.
***
3. Решить систему уравнений
методом Гаусса. Решение. Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме:
Выпишем соответствующую систему уравнений:
Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение и выразим остальные переменные через c:
Таким образом, общее решение системы имеет вид
Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: .
Подставляя c = 2, получаем другое частное решение: .
Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений. Проверка: Подставим и в каждое уравнение системы:
Уравнения обратились в тождества.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление