Карно теоремасы 4 страница

Жауабы: Төбесіндегі бұрыш жүйесінің шешімі болмайтындай а параметрінің мәнін тап.

Он екінші нұсқа

1. шартын қанағаттандыратын a, b сандары үшін 1-ab рационал санның квадраты болатынын дәлелде.

Нұсқау: Берілген теңдіктің екі жағын квадрат дәрежеге шығарып, екі жағынан -ті азайтып түрлендір.

Жауабы: 1-

2. теңдеуін шеш.

Нұсқау: Берілген теңдіктің екі жағын х²-қа бөліп, ауыстыруы арқылы теңдеуіне келтір.

3. Тік бұрышты АВС үшбұрышының СЕ биссектрисасы AF медианасын М нүктесінде қияды. AC болса АВС үшбұрышының периметрін тап.

Нұсқау: Биссектрисасының қасиеті бойынша ACF үшбұрышынан CF-тің ұзындығын тауып CB қабырғасының ұзындығын, соңынан Пифагор теоремасын қолданып гипотенузасын тап. Жауабы: 36 см

4. 23х23 кестенің көздеріне -1 мен 1-дің қай бірін қалай жазса да жолдардағы мен бағандардағы сандардың көбейтінділерінің (барлығы 23+23=46) қосындысы 0-ге тең емес екенін дәлелде.

Нұсқау: Көбейтінділердің 23-і 1-ге, 23-і -1ге тең болуы мүмкін емес екенін көрсет.

Он үшінші нұсқа

1. және сандарының арифметикалық ортасы болатындай барлық сандарын тап.

2. Тең бүйірлі АВС үшбұрышының төбесіндегі бұрыш В-нің өлшемі 20 -қа тең АВ қабырғасында D нүктесін BD = AC болатындай етіп алған болса ACD бұрышының өлшемін тап.

Нұсқау: Суреттегі АСЕ дұрыс үшбұрышын салып, ЕВ кесіндісін жүргізесек: Салу және есеп шарты бойынша . Бұдан мен лер тең болатынын дәлелде.

Жауабы:

3. Тамат есептеуіш әр бір секунд сайын берілген санды 2 немесе 3ке бөледі немесе сандарға көбейту амалдарының біреуін ғана (4 амалдың бірі) орындайды. Осылайша автомат бір минутта 36 санын 288 болдыра ала ма?

Нұсқау: 36 тақ және жұп секундтағы 2 мен 3тің дәрежелерінің қосындысының өзгеру заңдылығын зертте қорытынды жаса.

4. 2011! саны неше нөлмен аяқталады?

Он төртінші нұсқа

1. x;y болса бүтін санның квадраты болатынын дәлелде.

Нұсқау: 1+ теңбе тең түрлендіруін пайдалан.

2. мен дәрежесінің қайсысы үлкен.

Нұсқау: теңсіздігін пайдалан.

3. Бір тәулікте сағаттың сағаттық және минуттық тілдері неше рет тең бұрыш жасайды.

Жауабы: 44 рет

4. АВС үшбұрышының АВ, АС, ВС қабырғаларында сәйкес K, L, M нүктелері берілген. Егер KL және болса LM болатынын дәлелде.

Нұсқау: BC қабырғасында болатындай N нүктесін алып, AKL және NLC үшбұрыштары тең болатынын БҚБ белгісі бойынша анықта.

Он бесінші нұсқа

1. а – бүтін сан болса өрнегінің мәні бүтін санның квадраты болатынын дәлелде.

2. Тақтаға 123456789 саны жазылған. Қай қайсысы нөлден өзгеше қатар тұрған екі цифрды өшіріп, олардың орнына осы цифрлардың екеуін де бірмен азайтып, орындарын ауыстырып жазады. (мысалы берілген санның 5, 6 цифрларын таңдасақ жазылатын сан болуы керек) осы амалды тізбектей орындау арқылы ең кіші қандай санды қалай шығарып алуға болады.

Нұсқау: Есеп шартындағы амал нәтижесінде әр бір разрядта жазылатын цифрдың тақ жұптық қасиеті өзгермейді. Олай болса ең кіші мән 101010101-ден кіші болуы мүмкін емес.

Жауабы: 20 рет амал қолданып 101010101ді шығарып алуға болады.

3. Суреттегі ACEBD бес бұрышының , және AC = BE болса AD=BD болатыны дәлелде.

Нұсқау: AD деп белгілесек ∆ACK =∆BEM, ∆DMK тең бүйірлі болатынын айқындап есепті шеш.

4. р 7-ден үлкен жай сан болса саны 240-қа бөлінетінін дәлелде.

Нұсқау: 240 саны өзара жай 3; 5; 16 сандарының көбейтіндісіне тең болғандықтан берілген өрнек 3; 5; 16 ның әрқайсысына бөлінетінін дәлелдеу керек. p жай болғандықтан (p-1)(р+1) көбейтіндісі ке, 2ге бөлінетініне көз жеткіз. Сондай-ақ жағдайларының әр қайсысында көбейткіштердің біреуі 5-ке еселік болатынын дәлелдеу қажет.

Он алтыншы нұсқа

1. шартын қанағаттандыратын оң сандары үшін өрнегінің мәнін тап.

2. санының ондық жазылуының соңғы 5 цифры нөлге тең болатынын дәлелде.

Нұсқау: Қосылғыштар саны 2000 және 2000 және 1+ саны 4-ке, саны 5-ке, саны 5-ке, саны 5-ке бөлінетініне көз жеткізіп қосындыны топтап жоғарыдағы бес қосындының көбейтіндісіне жіктесек, бұл сан 400 санына бөлінеді.

3. ABCүшбұрышының AD, BE медианалары L нүктесінде қиылысады. Егер ANB бұрышы а) тік, б) сүйір болса AC болатынын дәлелде.

Нұсқау: BN = 2 NE, ABN үшбұрышының AD, AFмедианалары L нүктесінде қиылысып AL . Егер

болса AE болады да AL . Дәл осы сияқты . Ары қарай ABNүшбұрышына үшбұрыш теңсіздігін қолдану қажет.

4. Қосындысы 70-ке, квадраттарының қосындысы 100ге тең 51 нақты сан берілген. Осы сандардың ең үлкенінің ең кіші мүмкін мәнін тап.

Нұсқау: α + (1)

α (2)

Біз деп алайық (1) мен (2) деп (3) теңдігін шығарып алу керек.

Жауап:

Он жетінші нұсқа

1. a,b, c сандары жүйесін қанағаттандырса:

а) болатынын дәлелде.

б) қосындысының сан мәнін тап.

2. саны 37-ге бөлініп, саны 37-ге бөлінбейтінін дәлелде.

Нұсқау: a= теңдігін дәлелдесек немесе болатынын ескере отырып n = және n = кезінде а саны 37ге бөлініп, n = кезінде бөлінбейтініне көз жеткізу қажет. Және санның 37-ге бөлінгіштік белгісі санды соңынан бастап үш үштен топтағанда шығатын сандардың қосындысы 37-ге бөлінуі болатынын пайдаланып та оңай дәлелденуге болады.

3. Әр қайсысы 100-ден аспайтын әр түрлі 50 натурал сан берілген. Бұлардың ішінен қосындысы бүтін санның квадраты болатын сандар (бір сан болуға да болады) таңдап алуға болатынын дәлелде.

Нұсқау: а) 50 саннның ішінде бүтін квадрат болатын бір сан болса есеп шарты орындалады.

б) Бүтін квадрат болатын сан жоқ. 1-ден 50ге дейінгі сандармен реттелген 50 ұяшық алайық та k; 100-k ( ) сандарын k –інші ұяшыққа орналастырайық. Осындай екі пар сан орналасатын ұяшық үшін k+ болып есеп шарты орындалатыны түснікті. Таңдауымыз бойынша 36-шы ұяшыққа кіретін 36 және 64 сандары 50 санның ішіне кіріспегендіктен 36-шы ұяшық құр болатынын ескеріп, Дирихле принципі бойынша қорытынды жаса.

4. Жазықтықта кез келген екеуінің ара қашықтығы натурал санға тең болатын бір түзудің бойында жатпайтын 2011 нүкте табылатынын дәлелде.

Нұсқау: 2010 нүкте бір түзу бойында бір нүкте түзуден тысқары болатындай таңдасақ жеткілікті.

деп алсақ а) теңдеудің 1005 натурал шешімі болатында а-ны таңдасақ жеткілікті деп алсақ (1) теңдеудің (2+ натурал шешімі болатынына көз жеткіз.

Он сегізінші нұсқа

1. x; y; z оң нақты сандар және болса болатынын дәлелде.

Нұсқау: , деп таңдап алып деген Коши-Бунаковский теңсіздігін керектеніп теңсіздігін шығарып ал. , теңсіздіктерінің ақиқаттығына көз жеткіз.

2. Толық квадрат болатын тақ сандарды бір қатарға тіркеп жазса 19254981121... деген көп таңбалы сан пайда болады. а) 200-ші орында.

б) 2012-ші орында қандай цифр жазылады.

Нұсқау: 1 таңбалы ; - 2 сан

2 таңбалы - 3 сан

3 таңбалы - 11 сан

4 таңбалы - 34 сан

5 таңбалы - 108 сан д.с. есептеп табу.

Жауабы: б) 6 таңбалы 216-шы санның алдынан 5-ші цифры (31 болатындықтан 2012-ші цифр 0 цифры.

3. Сүйір бұрыштың АВС үшбұрышының А бұрышы 40⁰. Үшбұрыштың ішінде болатын М нүктесі алынған ВМ және СМ кесінділерінің ортасына жүргізілген перпендикулярлар АВ және АС қабырғаларына сәйкес P және Q нүктелерінде қияды. М нүктесі PQ кесіндісінде жататынын дәлелде.

Нұсқау: Есеп шарты орындалу үшін болатынын дәлелдеу қажет.

4. 5 түрлі гүлден таңдап, 8 дана гүлден тұратын гүл шоғын неше түрлі тәсілмен жасауға болады.

Нұсқау: 8 гүлді 8 нүкте деп алып оны 4 таяқша арқылы 5 топқа бөлудің барлық мүмкіндігін есепте. Немесе орынға 4 таяқшаны неше әртүрлі тәсілмен орналастыруға болатынын есепте.

Жауабы: 495 тәсіл

Он тоғызыншы нұсқа

1. және болса өрнегінің мәнін тап.

Нұсқау:

теңдігін пайдалана отырып xy = 1болатынына көз жеткіз.

Жауап: 19

2. Төрт таңбалы А санның бір цифрын өшіргенде пайда болатын төрт үш таңбалы қосындысы 2010-ға тең. А санының ең кіші және ең үлкен мүмкін мәнін тап. Есеп шартын қанағаттандыратын төрт таңбалы неше сан бар?

3. Жазықтықтықта А; В; С және О нүктесі теңдігі орындалатындай орналасқан. Егер AOB, AOC, BOC бұрышының ішінде тең бұрыштар жоқ болса, онда АОВ мен ВОС биссектрисаларының арасындағы бұрышты табыңдар.

4. 100-ден 1000-ға дейінгі натурал сандардың ішінде дәл үш цифры бірдей сан нешеу? Жауап: 333

Жиырманшы нұсқа мұндағы - үш таңбалы сан. Осындай барлық үш таңбалы сандарды тап.

Жауап: түріндегі барлық үш таңбалы сандар

1. бөлшегінің үтірден кейінгі 2012-ші цифрын тап.

2. АВС үшбұрышының ішінде М нүктесі берілген. болса АВ = MC екенін дәлелде.

3. Әр қайсысының салмағы 1г-ға тең 2012 шығырықтан жасалған шынжыр берілген. Салмағы 1гр, 2гр,..., 2012гр болатын жүктердің барлығын жеке-жеке өлшеуге болатындай етіп шынжырды кем дегенде неше рет қалай үзу керек.

Жауап: 8; 1; 16; 1; 32; 1; 64; 1; 128; 1; 256; 1; 512; 1; 989 деп 7 рет бөлу керек.

Жиырма бірінші нұсқа

1. теңдеуінің барлық бүтін шешімдерін тап.

Нұсқау: Берілген теңдеуді түріне келтіріп десек теңдеу түріне келеді де бұдан р -ке еселік оң сан

Жауап: (4; 5) (5; 4)

2. Цифрларының квадраттарының қосындысын сол санның өзіне бөлгендегі бөлінді ең үлкен болатын екі таңбалы санды тап.

Нұсқау: болатыны-на көз жеткіз. Жауап:

3. Натурал саннан оның цифрларының қосындысын шегергенде 2007-ге тең болады. Осы натурал сандарды тап.

Жауап: 2010-нан 2019-ға дейінгі 10 сан.

4. АВС үшбұрышының АС қабырғасында D нүктесін AD , BC қабырғасында K нүктесін BK болатындай етіп аламыз. АК кесіндісі BD-ні қандай қатынаста бөледі?

Нұсқау: В нүктесі арқылы АС-ге параллель түзу жүргізіп онымен АК түзуінің қиылысуын Р десек ВКР мен СКА үшбұрыштары және AOD мен DOK үшбұрыштары ұқсас болатынын пайдалан. Жауап:

Жиырма екінші нұсқа

1. а санның 2a +4 не 3a + 8 не сандарымен ауыстыру амалдары арқылы 3 санынан 2009 санын шығара аламыз ба?

Нұсқау: 2009 саны 7-ге бөлінеді, a = түріндегі a санын жоғарыдағы амалдар арқылы түрлендіргенде шығатын санның 7-ге бөлінетіндік қасиетін зерттеп көр.

Жауап: болмайды.

2. (3a теңдігін қанағаттандыратын a; b; c сандары табыла ма?

3. ADGүшбұрышының AD, DG қабырғаларына оған сырттай ABCD, DEFG квадраттары салынған AE = CG болатынын дәлелде.

4. Параллель екі түзудің біреуінде 5 нүкте, екіншісінде 9 нүкте берілген. Төбелері осы нүктелер болатын барлық үшбұрыш нешеу? Жауап: 270 үшбұрыш

Жиырма үшінші нұсқа

1. теңдеуін шеш.

Нұсқау: t = ауыстыру арқылы теңдеуіне келтір. Жауап: {3;

2. Жазықтықта А, В, С және О нүктелері және АОВ, АОС, ВОС бұрыштар болмайтындай орналасқан. АОВ және ВОС бұрыштарының биссектрисаларының арасындағы бұрышты табыңдар.

Дата добавления: 2014-12-16