Пара сил

Парою сил називається система двох рівних за модулем, паралельних і спрямованих у протилежні боки сил, що діють на абсолютно тверде тіло.

Площиною дії пари сил, або площиною пари, називається площина, в якій знаходяться ці сили.

Плечем пари сил d називається найкоротша відстань між лініями дії сил пари.

Рисунок 4.1

Моментом пари сил називається вектор , модуль якого дорівнює добутку модуля однієї з сил пари на її плече і який напрямлений перпендикулярно до площини дії сил пари в той бік, звідки пару видно прагнучою обернути тіло проти ходу годинникової стрілки.

Теорема про суму моментів пари сил. Сума моментів сил, що входять до складу пари, відносно будь-якої точки не залежить від вибору цієї точки і дорівнює моменту цієї пари сил:

.

Доведення: Виберемо довільно точку О. Проведемо з неї в точки А і В радіуси-вектори (див. рис. 4.2):

, ,

Що і потрібно було довести.

Рисунок 4.2

Дві пари сил називаються еквівалентними, якщо їх дія на тверде тіло однакова за інших рівних умов.

Рисунок 4.3

Теорема про еквівалентність пар сил. Пару сил, що діє на тверде тіло, можна замінити іншою парою сил, розташованою в тій самій площині дії і такою, що має однаковий із першою парою момент.

Доведення. Нехай на тверде тіло діє пара сил .

Перенесемо силу в точку , а силу в точку . Проведемо через точки дві будь-які паралельні прямі, що перетинаються лінії дії сил пари. З’єднаємо точки відрізком прямої і розкладемо сили в точці і в точці за правилом паралелограма:

,

.

Оскільки , то

і .

Тому еквівалентна системі , а ця система еквівалентна системі , оскільки еквівалентна нулю.

Таким чином, ми задану пару сил замінили іншою парою сил . Доведемо, що моменти у цих пар сил однакові.

Момент вихідної пари сил чисельно дорівнює площі паралелограма , а момент пари сил чисельно дорівнює площі . Але площі цих паралелограмів рівні, оскільки площа трикутника дорівнює площі трикутника .

Що і потрібно було довести.

Висновки

1. Пару сил як жорстку фігуру можна як завгодно повертати і переносити в її площину дії.

2. У парі сил можна змінювати плече і сили, зберігаючи при цьому момент пари і площину дії.

Теорема про перенесення пари сил у паралельну площину. Дія пари сил на тверде тіло не зміниться від перенесення цієї пари в паралельну площину.

Доведення. Нехай на тверде тіло діє пара сил у площині . Із точок прикладення сил А і В опустимо перпендикуляри на площину і в точках їх перетину з площиною прикладемо дві системи сил і , кожна з яких еквівалентна нулю:

, , , .

Рисунок 4.4

Складемо дві рівні та паралельні сили і . Їх рівнодійна паралельна цим силам, дорівнює їх сумі і прикладена посередині відрізка в точці О.

Складемо дві рівні і паралельні сили і . Їх рівнодійна паралельна цим силам, дорівнює їх сумі і прикладена посередині відрізка в точці О.

Оскільки , то система сил еквівалентна нулю і її можна відкинути.

Таким чином, пара сил еквівалентна парі сил , але лежить в іншій, паралельній площини, що і потрібно було довести.

Наслідок. Момент пари сил, що діє на тверде тіло, є вільний вектор.

Рисунок 4.5

Дві пари сил, що діють на одне і те ж тверде тіло, еквівалентні, якщо вони мають однакові за модулем і напрямом моменти.

Теорема про додавання пар сил. Дві пари сил, що діють на одне і те ж тверде тіло і лежать в площині перетину, можна замінити однією еквівалентною парою сил, момент якої дорівнює сумі моментів заданих пар сил:

.

Доведення: Нехай є дві пари сил, розташовані в площині перетину. Пара сил у площині характеризується моментом , а пара сил в площині характеризується моментом .

Розташуємо пари сил так, щоб плече пар було загальним і розташовувалося на лінії перетину площин. Складаємо сили, прикладені в точці А і в точці В, . Отримуємо пару сил :

Що і потрібно було довести.

Умови рівноваги пар сил

Якщо на тверде тіло діє декілька пар сил, як завгодно розташованих в просторі, то послідовно застосовуючи правило паралелограма до кожних двох моментів пар сил, можна будь-яку кількість пар сил замінити однією еквівалентною парою сил, момент якої дорівнює сумі моментів заданих пар сил:

.

Теорема. Для рівноваги пар сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб момент еквівалентної пари сил дорівнював нулю:

.

Теорема. Для рівноваги пар сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій моментів пар сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювала нулю.

.

Основні властивості та основні перетворення пари сил такі:

а) пару сил можна переносити в площині її дії, у тому числі й повертати на будь-який кут;

б) пару сил можна переносити в будь-яку площину, паралельну площині цієї пари;

в) можна змінювати сили, що утворюють пару та її плече, не змінюючи моменту пари;

г) декілька пар сил, довільно розміщених у просторі, можна замінити однією парою, момент якої дорівнює геометричній сумі моментів складових пар.

З викладеного можна зробити такий висновок: механічний вплив у статиці характеризується трьома типами векторів: силою – ковзним вектором, моментом сили відносно точки – прикладеним вектором і парою сил – вільним вектором.

Лекція 5

Короткий зміст: Приведення сили до заданого центра. Приведення системи сил до заданого центра. Умови рівноваги просторової системи паралельних сил. Умови рівноваги плоскої системи сил. Теорема про три моменти. Статично визначувані і статично невизначувані завдання. Рівновага системи тіл.

Дата добавления: 2014-12-16