Прискорення точки в декартових координатах

Прискорення точки

Нехай точка, що рухається М в момент часу ,має швидкість . В інший момент часу ця точка буде займати положення М₁ і матиме швидкість . Щоб зобразити приріст швидкості за час , перенесемо вектор паралельно самому собі в точку М.

Рисунок 10.3

Середнім прискоренням точки за час називається відношення вектора прирощення швидкості до зміни часу .

(2.3)

Прискоренням точки в момент часу називається границя до якого прагне середнє прискорення при , спрямоване до нуля. Прискорення точки дорівнює першій похідній за часом від швидкості точки або другій похідній за часом від радіус-вектора.

.

(2.4)

Розкладемо прискорення і швидкість точки на складові, паралельні осям декартової системи координат. Отримаємо

, .

(2.5)

Після диференціювання:

.

(2.6)

Звідси ,

.	(2.7)

Проекція прискорення точки на яку-небудь координатну вісь дорівнює другій похідній за часом від відповідної координати цієї точки.

Модуль прискорення і напрямні косинуси рівні:

,

(2.8)

, ,

.

(2.9)

Якщо точка рухається в площині, то, обравши осі координат Ox і Oy в цій площині, отримаємо:

, .

Для прямолінійного руху точки координатну вісь, наприклад вісь Ox, направляємомляємо по траєкторії. Тоді

.

Прискорення точки при природному способі завдання руху.

Швидкість точки дорівнює .

У Ввідповідності з до визначенням прискорення

Або або

.

(2.10)

Таким чином, отримано розкладання вектора прискорення точки по осях природного тригранника.

Частина прискорення

(2.11)

називається дотичною складовою прискорення.

Інша частина прискорення

(2.12)

називається нормальною складовою прискорення. Вона направлена напрямлена всередину увігнутості траєкторії, тобто у бік позитивного напряму одиничного вектора головної нормалі .

Формули для проекції прискорення на природні осі:

, , ,

.

Дотична складова , при направлена напрямлена за напрямком вектора , при протилежно .

Обчислення проекцій прискорення точки на природні осі

Хай Нехай рух точки заданий в координатній формі. Проекція прискорення на дотичну до траєкторії рівна дорівнює , алгебраїчна швидкість з точністю до знаку знака дорівнює модулю швидкості , а модуль швидкості дорівнює

. Обчислимо першу похідну за часом від цього виразу, отримаємо

.

Проекція прискорення на нормаль до траєкторії рівна дорівнює .

Радіус кривизни траєкторії в поточній точці рівний дорівнює .

Окремі випадки руху точки

Рівномірний рух

При рівномірному русі точки по траєкторії будь-якої форми модуль швидкості v = const, отже, постійна і алгебраїчна швидкість v _, котра яка може відрізнятись відрізнятися від v тільки знаком.

Так якОскільки , то . Якщо прийняти взяти за умов , то після інтегрування отримаємо

або

Можна також записати , .

Рівнозмінний рух

Рівнозмінним рухом називається такий рух точки по траєкторії будь-якої форми, при якому дотичне прискорення постійне, тобто a _τ = const Рух називається рівноприскореним якщо алгебраїчна швидкість v _τ і дотичне прискорення a _τ мають однакові знаки. Якщо v і a _τ мають різні знаки, то називається рівносповільненим. Отримаємо формули для алгебраїчної швидкості і відстані при рівнозмінному рівнозміннованому русі.

Маємо: , .

Якщо прийняти взяти при , то після інтегрування отримаємо

або .

Можна також записати

,

.

Далі і після інтегрування

або .

Можна також записати

.

Якщо вирішити розв’язати квадратне рівняння, то можна знайти .

Дата добавления: 2014-12-16