Структура сети Петри

Сеть Петри состоит из четырёх элементов:

· множество позиций Р,

· множество переходов Т,

· входная функция I

· выходная функция О.

Входная и выходная функции связаны с переходами и позициями. Входная функция I отображает переход t_j в множество позиций I(t_j), называемых входными позициями перехода. Выходная функция О отображает переход t_j в множество позиций O(t_j), называемых выходными позициями перехода.

Структура сети Петри определяется её позициями, переходами, входной и выходной функциями.

Определение 1. Сеть Петри С является четвёркой, С= (Р, Т, I, О). Р= { р₁, р₂,..., р_n }– конечное множество позиций, n ³0. Т= { t₁, t₂,..., t_m } – конечное множество переходов, m ³0. Множество позиций и множество переходов не пересекаются, Р Ç Т = Æ. Входная функция I осуществляет отображение из переходов в комплекты позиций: Т ® Р ^∞. Выходная функция О осуществляет отображение из позиций в комплекты переходов: Т ® Р ^∞.

Пример. Структура сети Петри представлена в виде четвёрки (Рис.5.1), которая состоит из множества позиций (Р), множества переходов (Т), входной функции () и выходной функции ().

C = (P, T, I, O),

P={p₁, p₂, p₃, p₄, p₅},

T={t₁, t₂, t₃, t₄}.

I(t₁)={p₁ }, O(t₁)={p₂, p₃, p₅},

I(t₂)={p₂, p₃, p₅ }, O(t₂)={p₅},

I(t₃)={p₃ }, O(t₃)={p₄},

I(t₄)={p₄}, O(t₄)={p₂, p₃}

Рис.5.1. Структура сети Петри

Мощность множества Р есть число n, а мощность множества Т есть число m. Произвольный элемент Р обозначается символом р_i, i=1,..., п, а произвольный элемент Т – символом t_j, j=1,..., m.

Комплект – обобщение множества, включающее многократно повторяющиеся элементы. Использование комплектов для представления входных и выходных функций позволяет позиции быть кратным входом либо кратным выходом перехода.

Позиция р_i является входной позицией перехода t_j в том случае, если p_i Î I(t_j), p_i является выходной позицией, если p_i Î O(t_j). Входы и выходы переходов представляют собой комплекты позиций. Комплект является обобщением множества, в которое включены многократно повторяющиеся элементы – тиражированные элементы. Использование комплектов, а не множеств для входов и выходов перехода позволяет позиции быть кратным входом либо кратным выходом перехода.

Кратность входной позиции p_i для перехода t_j есть число появлений позиции во входном комплекте перехода, #(p_i,I(t_j)). Аналогично кратность выходной позиции p_i для перехода t_j есть число появлений позиции в выходном комплекте перехода, #(p_i,O(t_j)).

Если входная и выходная функции являются множествами (а не комплектами), то кратность каждой позиции есть либо 0, либо 1.

Входные и выходные функции используются для отображения позиций в комплекты переходов, а также их можно использовать для отображения переходов в комплекты позиций. Определим, что переход t_j является входом позиции p_i, если p_i есть выход t_j. Переход t_j есть выход позиции p_i, если p_i есть вход t_j.

Определение 2. Определим расширенную входную функцию I и выходную функцию O: таким образом, что

#(t_j, I (p_i)) = #(p_i, O (t_j)), #(t_j, O (p_i)) = #(p_i, I (t_j)).

Для сети Петри, представленной на рис. 5.1, расширенные входная функция I и выходная функция O имеют вид:

I (p₁) = { }, O(p₁) = { t₁ },

I (p₂) = { t₁,t₄ }, O (p₂) = { t₂ },

I (p₃) = { t₁,t₄ }, O (p₃) = { t₂,t₃ },

I (p₄) = { t₃ }, O (p₄) = { t₄ },

I (p₅) = { t₁,t₂ }, O (p₅) = { t₂ }.

Дата добавления: 2014-12-16