Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва

Исследовать функцию на непрерывность; непрерывность справа и слева и установить характер точек разрыва, где

Решение. При можно сократить на .

Следовательно, при . Легко

видеть, что . Значит, при функция будет разрывной, так как предел функции не равен значению функции в этой точке.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Найдем односторонние пределы в точке , т.е.

.

В точке функция имеет разрыв 2 рода. Так как предел слева в точке равен значению функции в этой точке, то функция непрерывна слева в точке . При остальных значениях функция непрерывна (по теореме непрерывности суперпозиции функций).

Пример 3. Доказать непрерывность функции .

Решение. Пусть - произвольное значение на числовой прямой.

Найдем и составим разность

Оценим полученное выражение в правой части по абсолютной величине

,

.

Итак, отмечаем, что

.

Контрольные вопросы

1. Определение непрерывной функции в точке.

2. Разрыв функции в точке. Классификация разрывов.

3. Свойства непрерывных функций.

Задания.

1) Показать, что при функция имеет разрыв.

2) Найти точки разрыва функции .

3) Каков характер разрыва функции в точке .

4) Исследовать на непрерывность функции

а) ; б)

Дата добавления: 2014-12-16