Исследование систем линейных уравнений

Пусть дана система m -линейных уравнений с n -неизвестными

.

Матрицы

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы .

Теорема Кронекера – Капелли: Для совместности системы необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. .

Однородная система уравнений всегда совместна.

Если ранг совместной системы r равен числу неизвестных, т.е. , то система является определенной. Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система неопределенная.

Пример 6. Исследовать систему уравнений:

Решение. Рассмотрим расширенную матрицу системы Вычтем из 2-ой строки 1-ую и разделим элементы полученной строки на 4, получим: .

Вычтем из третьей строки 1-ую и разделим на 2,будем иметь .

Вычтем, из элементов 3-ей строки соответствующие элементы 2-ой строки ,

после этого вычеркнем 3-ю строку, получим .

Ранг матрицы равен . Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Следовательно, по теореме Кронекера–Капелли, система совместна. Возьмем уравнения

За основные неизвестные примем и . Это можно сделать, так как определитель из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля: . Свободным неизвестным служит .

Перепишем систему в виде:

.

Выразим и через : .

Поэтому общее решение системы: .

Дата добавления: 2014-12-16