Базис. Разложение вектора по базису

1⁰ Базис. Рассмотрим в пространстве R³ систему декартовых прямоугольных координат. Тройку векторов, удовлетворяющих условиям:

1) Вектор лежит на оси O х, вектор на оси O у, вектор на оси O z.

2) Векторы сонаправлены с осями.

3) Векторы единичные, т.е. , , ,

называют координатным базисом.

Любой вектор в пространстве может быть выражен через векторы при помощи линейных операций.

2⁰Пусть вектор, задан координатами начала и конца А(х₁,у₁,z₁) и В (х₂,у₂,z₂).

Проекции вектора на оси координат определяются формулами:

(2)

Проекции X, Y, Z вектора на оси координат называют его координатами. При этом пишут:

или (3)

Формула:

(4)

выражает длину вектора , через его координаты. В частности длина радиус вектора точки М (х,у,z) равен

,

3⁰ Пусть и - углы вектора с осями координат. Из формул (1) и (4) получаем:

(5)

причём

называются направляющимися косинусами.

Пример2. Пусть (см.рис.) М - середина ВС и N - середина AC. Определить векторы , , при .

Решение. Имеем , . ,

, , .

Следовательно,

и . Аналогично,

, , и

Ответ: , .

Пример3. Даны точки А(1;2;3) и В(3;-4;6). Найти длину вектора и направляющие косинусы.

Решение. По формулам (2) имеем:

Х=3-1=2

У=-4-2=-6

Z=6-3=3

Следовательно, .

Далее по формуле (4) и (5) получим:

, при этом

Пример 4. Радиус вектора точки М составляет с осью ох угол 45⁰ с осью оу угол 60⁰. Длина его r=6. Определить координаты точки М, если её координата z - отрицательна, и выразить вектор , через

Решение. По формулам (5) имеем:

т.е. , , , , , следовательно,

z²=9, , т.к. координата z отрицательна, то z=-3.

3. Скалярное произведение.

1⁰ Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается .

(6)

Итак, = ,

Где угол между векторами и . Так как и , то можно записать .

2⁰ Свойства скалярного произведения:

1) = .

2) .

3) .

4) Если а , то = . В частности

1) Если то =

2) Для базисных векторов :

,

3⁰ Если векторы и заданны своими координатами:

, , то

(8)

= .

4⁰ Угол между векторами:

(9)

Условие параллельности векторов и есть:

(10)

,

т.е. .

(11)

Условие перпендикулярности векторов и есть:

Пример 5. Определить угол между векторами и .

Решение. , . ,

.

Пример 6. Определить угол между векторами ,

Решение.

,

.

Пример 7. Определить углы треугольника с вершинами

А(2;-1;3), В(1;1;1) и С(0;0;5).

Решение. По формуле (2) найдём координаты векторов:

Скалярное произведение из (8):

Следовательно, векторы и перпендикулярны и согласно свойству угол .

Далее находим координаты вектора:

По формуле (9):

Следовательно, Ответ: ,

Пример 8. Найти скалярное произведение векторов

Решение. . Так как то

Дата добавления: 2014-12-16