Уравнение плоскости

Аналитическая геометрия в пространстве.

.Пусть в декартовой системе координат в пространстве дана точка М , заданная радиус-вектором { х ,у , }. Пусть также задан некоторый вектор . Построим уравнение плоскости Р проходящей че­рез точку M перпендикулярно вектору .

Пусть M(x, , z) - любая точка плоскости с радиус-вектором . Тогда вектор = будет перпендикулярен вектору . Скалярное произведение и равен нулю:

.

В координатной форме это уравнение имеет вид:

А(х- х ) +В(у- у ) + C(z- z ) = 0. (1)

Данное уравнение определяет уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной век­тору .

Вектор { А,В,С } называется нормальным векто­ром плоскости (1).

Теорема. Любая плоскость в пространстве опре­деляется уравнением первой степени и является поверхностью первого порядка. Верно и обратное утверждение: любое уравнение первой степени от­носительно переменных х, у, z определяет плоскость в пространстве.

. Общее уравнение плоскости

(2).

Вектор - является нормальным вектором плоскости (1) или (2).

. Особые случаи уравнения :

а) , - плоскость проходит через начало координат.

б) , - плоскость параллельна оси oz.

в) , - плоскость проходит через ось oz.

г) , - плоскость параллельна плоскости .

д) Уравнение координатных плоскостей х=0, у=0, z=0

. е) Уравнение плоскости в отрезках на осях:

. (3)

. Пусть заданы две плоскости

,

.

Угол образованный двумя плоскостями:

,. (4)

Условие параллельности плоскостей

. (5)

Условие перпендикулярности плоскостей

. (6)

Расстояние от точки до плоскости :

. (7)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .

Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково:

или

Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точки и и перпендикулярной плоскости .

Решение. Вектор есть нормальный вектор плоскости .

Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы , и - компланарны. Условие компланарности данных трёх векторов есть:

,

или - уравнение искомой плоскости.

Пример 3. Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение.

Дата добавления: 2014-12-16