Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Окружность. Окружность- это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра)




Окружность- это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным :

 

Если раскрыть скобки в левой части уравнения (1) то получится уравнение вида

Пример 1. Написать уравнение окружности с центром и радиусом .

Решение. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом есть:

.

1.Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная . Т.е., если - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса имеем: . Числа , называются фокальными радиусами точки .

Расстояние между фокусами и обозначим через . Примем за ось абсцисс, прямую соединяющую фокусы, выбрав на ней положительное направление от к ; начало координат возьмём в середине отрезка . Тогда координаты точек и будут соответственно: и .

Каноническое уравнение эллипса:

 

(1)

 

где , . Числа и называются полуосями эллипса.

Вершины эллипса имеют следующие координаты , , , .

Из уравнения

следует, что или Аналогично, Следовательно, эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами, равными и 2b, с центром в начале координат. Если а = b (с = 0), уравнение примет вид: х2 + у2 = а2 и определяет окружность.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Величина эксцентриситета влияет на форму эллип­са. Так, при очень малом а и b почти равны и эллипс напо­минает окружность. Если же величина близка к еди­нице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.

 

Пример2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 8,а малая полуось =3.

Решение. Расстояние между фокусами , следовательно, .Так как ,то .Следовательно, каноническое уравнение данного эллипса есть .

2. Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Обозначим эту постоянную через , а- расстояние между фокусами гиперболы. Пусть - произвольная точка гиперболы.

По определению гиперболы имеем:

Числа , называются фокальными радиусами точки .

Каноническое уравнение гиперболы:

 

(2)

 

где ,Число а- называется действительной, а число - мнимой полуосями гиперболы.

Ось симметрии на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симмет­рии - центром гиперболы;

 

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для любой гиперболы величина эксцентриситета опре­деляет форму гиперболы.

Замечание 1. у= ( /а) х и у = - ( / а)х - асимп­тоты гиперболы. Если а = , то такая гипербола на­зывается равносторонней.

Замечание 2. Если мнимая ось гиперболы равна и расположена на оси Оx, а действительная ось равна 2 и расположена на оси Оy, то уравнение такой гиперболы имеет вид:

y/а - x2/ 2 = 1 (3).

Гиперболы (2) и (3) называются сопряженными гиперболами.

Пример3. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2.Написать ее уравнение и найти расстояние точки от фокусов.

Решение. Общий вид уравнения гиперболы есть: + =1. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2, следовательно, =3, a = 2 .Следовательно, -уравнение искомой гиперболы. .

и -фокусы данной гиперболы. ,

3. Парабола.

Парабола есть геометрическое место точек, равностоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой называемой директрисой.

 

Выберем систему координат таким

образом: за ось Оx примем прямую

проходящую через фокус .

Пусть - произвольная точка

лежащая на параболе. Пусть точка

N – основание перпендикуляра

опущенного из М на директрису.

По определению параболы .

Каноническое уравнение параболы:

 

. (3)

Уравнение директрисы записывается в виде: .

Точка (0.0) – точка пересечения параболы с осью симметрии и называется вершиной параболы.

 

Пример4. Написать уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через точки (0,0) и (2,-4).

Решение. Уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через начало координат есть .Точка (2,-4)-лежит на параболе, следовательно,(-4) = , и уравнение параболы имеет вид

Контрольные вопросы.

1.Эллипс.

2. Гипербола.

3. Парабола.

Задания.

1.Написать уравнение окружности с центром и радиусом . Лежат ли на этой окружности точки , , .

2.Построить эллипс . Найти: 1)полуоси, 2)координаты фокусов,3) эксцентриситет.

3.Построить гиперболу . Найти: 1)действительную и мнимую полуоси, 2)координаты фокусов, 3) эксцентриситет, 4) уравнения асимптот.

4.Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки и от прямой . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 1889; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.