Розміщення з повторенням і без повторення

Перетворення періодичних дробів у звичайні

Щоб перетворити звичайний дріб у десятковий, достатньо його чисельник поділити на знаменник.

Якщо при діленні чисельника на знаменник матимемо нескінченний дріб, у якого одна або кілька цифр повторюються в одній і тій же послідовності, то такий дріб називають періодичним.

У таких випадках говорять про наближене перетворення звичайних дробів у десяткові.

Чистий періодичний дріб — такий дріб, у якого період починається одразу після коми, мішаний — такий, у якому між комою і періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються.

Якщо в розкладі на прості множники знаменника звичайного дробу є лише числа 2 і 5, то такий дріб перетворюється у скінчений десятковий дріб.

Якщо в розкладі на прості множники знаменника звичайного нескоротного дробу, крім чисел 2 і 5, є інші прості множники, то такий дріб перетворюється у нескінчений десятковий дріб.

Розміщення з повтореннями по m елементів n-елементної множини A – це послідовність елементів множини A, що має довжину m.

Приклад. При A={a, b, c} розміщення з повтореннями по два елементи – це пари (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c).

Якщо |A|=n, то за правилом добутку множина всіх розміщень з повтореннями, тобто множина Am=A´A´…´A, містить nm елементів. Зокрема, якщо |A|=2, то розміщень з повтореннями 2m. Зауважимо, що ці розміщення можна взаємно однозначно поставити у відповідність послідовностям з 0 і 1 довжини m.

У багатьох комбінаторних задачах об'єкти, кількість яких треба обчислити, являють собою послідовності, у яких перший елемент належить множині A1, другий – A2, тощо. Але досить часто множина A2 визначається лише після того, як зафіксовано перший член послідовності, A3 – після того, як зафіксовано перші два і т.д. Обчислимо, наприклад, кількість 7-цифрових телефонних номерів, у яких немає двох однакових цифр поспіль. Якщо на першому місці в номері є, наприклад, 1, то на другому може бути будь-яка з 9 інших цифр. І так само на подальших сусідніх місцях. Таким чином, тут |A1|=10, |A2|=|A3|=…=|A7|=9, і загальна кількість номерів є 10×96.

2. Розміщення та перестановки без повторень

Означення. Розміщення по m елементів n-елементної множини A, де m£n – це послідовність елементів множини A, що має довжину m і попарно різні члени.

Приклади.

1. При A={a, b, c} розміщення по два елементи – це пари (a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b).

2. Розподіл n різних кульок по одній на кожний з m різних ящиків, m£n. Ящики можна пронумерувати від 1 до m, кульки – від 1 до n. Тоді кожному розподілу взаємно однозначно відповідає послідовність довжини m попарно різних номерів від 1 до n.

Неважко підрахувати кількість послідовностей з прикладу 2. На першому місці може стояти будь-який із номерів 1, …, n. На другому – незалежно від того, який саме був на першому, будь-який із n-1, що залишилися. І так далі. За принципом добутку, таких послідовностей

n×(n-1)×…×(n-m+1),

або n!/(n-m)!. Цей добуток позначається або (n)m або nm.

Дата добавления: 2014-12-16